Bài 129 trang 96 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho đoạn thẳng \(AB,\) điểm \(M\) di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của \(AB\) các tam giác đều \(AMD, BME.\) Trung điểm \(I\) của \(DE\) di chuyển trên đường nào \(?\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+) Các điểm cách đường thẳng \(b\) một khoảng bằng \(h\) nằm trên hai đường thẳng song song với \(b\) và cách \(b\) một khoảng bằng \(h.\)

Lời giải chi tiết

Gọi giao điểm của \(AD\) và \(BE\) là \(C.\)

\(∆ ABC\) có: \(\widehat A = {60^0}\) (vì \(∆ ADM\) đều)

                  \(\widehat B = {60^0}\) (vì \(∆ BEM\) đều)

Suy ra: \(∆ ABC\) đều

Do đó \(AC = AB = BC\) nên điểm \(C\) cố định

\(\widehat A = \widehat {EMB} = {60^0}\)

\(⇒ ME // AC\) (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

hay \(ME // DC\)

\(\widehat {DMA} = \widehat B = {60^0}\) (vì tam giác ADM đều và tam giác ABC đều)

\(⇒ MD // BC\) (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

hay \(MD // EC\)

Tứ giác \(CDME\) là hình bình hành

\(I\) là trung điểm của \(DE\) nên \(I\) là trung điểm của \(CM\)

Kẻ \(CH ⊥ AB, IK ⊥ AB\) \(⇒ IK // CH\)

Trong \(∆ CHM\) ta có:

\(CI = IM\)

\(IK // CH\)

Nên K là trung điểm của HM.

Suy ra \(IK\) là đường trung bình của \(∆ CHM\) \(⇒ IK = \displaystyle {1 \over 2}CH\)

\(C\) cố định \(⇒ CH\) không đổi \(⇒ IK =\displaystyle{1 \over 2}CH\) không thay đổi nên \(I\) chuyển động trên đường thẳng song song \(AB,\) cách \(AB\) một khoảng bằng \(\displaystyle{1 \over 2}CH.\)

Khi \(M\) trùng với \(A\) thì \(I\) trùng trung điểm \(P\) của \(AC.\)

Khi \(M\) trùng với \(B\) thì \(I\) trùng với trung điểm \(Q\) của \(BC.\)

Vậy khi \(M\) chuyển động trên đoạn thẳng \(AB\) thì \(I\) chuyển động trên đoạn \(PQ\) (\(P\) là trung điểm của \(AC, Q\) là trung điểm của \(BC\))