Đề bài
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - z = 2\\x + y = 3\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y - z = 2\\x + 2y + z = 5\\ - x + y = 2\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\2x - y + 2z = 6\\4x - 7y = - 6\end{array} \right.\)
d) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\2x - y + 2z = 6\\4x - 7y = 3\end{array} \right.\)
e) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y - 7z = 2\\4x - y + z = 11\\ - 5x - y - 9z = - 22\end{array} \right.\)
f) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\5x - y - 2z = 3\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Biến đổi hệ về một hệ đơn giản hơn bằng cách:
+ Nhân hai vế của một PT với một số khác 0
+ Đổi vị trí hai phương trình của hệ
+ Cộng mỗi vế của PT (sau khi nhân) với vế tương ứn của PT khác để được PT có số ẩn ít hơn.
Lời giải chi tiết
a) Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\2x - y - z = 2\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z = - 4\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -1 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z = - 4\\ - 2y + z = - 1\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z = - 4\\ - 5y = - 5\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 1\).
Thế vào phương trình thứ hai ta được \( - 3 - z = - 4\) hay \(z = 1\)
Cuối cùng ta có: \(x + 1 = 3\) hay \(x = 2\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {2;1;1} \right).\)
b) Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ ba ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\x + 2y + z = 5\\3x - y - z = 2\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\3x - y - z = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\2y - z = 8\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\5y = 15\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 3\).
Thế vào phương trình thứ hai ta được \(9 + z = 7\) hay \(z = - 2\)
Cuối cùng ta có: \( - x + 3 = 2\) hay \(x = 1\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {1;3; - 2} \right).\)
c) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\4x - 7y = - 6\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\5y + 4z = 18\end{array} \right.\)
Nhận thấy phương trình thứ hai và thứ ba của hệ giống nhau. Như vậy ta được hệ tương đương dạng hình thang
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\end{array} \right.\)
Rút z theo y từ phương trình hai của hệ ta được: \(z = \frac{{18 - 5y}}{4}\). Thế vào phương trình thứ nhất ta được \(x - 3y - \frac{{18 - 5y}}{4} = - 6 \Leftrightarrow x = \frac{{12y + 18 - 5y}}{4} - 6 = \frac{{7y - 6}}{4}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là \(S = \left\{ {\frac{{7y - 6}}{4};y;\frac{{18 - 5y}}{4}} \right\}\)
d) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\4x - 7y = 3\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\5y + 4z = 27\end{array} \right.\)
Từ hai phương trình cuối, suy ra 18 = 27, điều này vô lí.
Vậy hệ ban đầu vô nghiệm
e)
Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\4x - y + z = 11\\ - 5x - y - 9z = - 22\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z = - 25\\ - 5x - y - 9z = - 22\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z = - 25\\ - y + 31z = 23\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z = - 25\\ - 2y = - 2\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 1\).
Thế vào phương trình thứ hai ta được \( - 1 - 31z = - 25\) hay \(z = \frac{{24}}{{31}}\)
Cuối cùng ta có: \(x + 8.\frac{{24}}{{31}} = 9\) hay \(x = \frac{{87}}{{31}}\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {\frac{{87}}{{31}};1;\frac{{24}}{{31}}} \right).\)
f) Cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\7x - 4y - 6z = 1\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)
Nhận thấy phương trình thứ hai và thứ ba của hệ giống nhau. Như vậy ta được hệ tương đương
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -7 rồi cộng với 2 lần phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\13y + 16z = 16\end{array} \right.\)
Rút z theo y từ phương trình hai của hệ ta được: \(z = \frac{{16 - 13y}}{{16}}\). Thế vào phương trình thứ nhất ta được
\(2x - 3y - 4.\frac{{16 - 13y}}{{16}} = - 2 \Leftrightarrow 2x = 3y + \frac{{16 - 13y}}{4} - 2 = \frac{{8 - y}}{4}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là \(S = \left\{ {\frac{{8 - y}}{4};y;\frac{{16 - 13y}}{{16}}} \right\}\)
Môn bóng đá
Chương 6. Tốc độ phản ứng hóa học
Chủ đề 9: Bảo vệ cảnh quan thiên nhiên và môi trường tự nhiên
Dưới bóng hoàng lan
Đề thi giữa kì 1
Chuyên đề học tập Toán - Cánh diều Lớp 10
Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 10 - Kết nối tri thức
Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 10 - Chân trời sáng tạo
Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 10 - Cánh diều
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 10
Chuyên đề học tập Toán - Chân trời sáng tạo Lớp 10
Lý thuyết Toán Lớp 10
SBT Toán - Cánh Diều Lớp 10
SBT Toán - Chân trời sáng tạo Lớp 10
SBT Toán - Kết nối tri thức Lớp 10
SGK Toán - Cánh diều Lớp 10
SGK Toán - Chân trời sáng tạo Lớp 10
SGK Toán - Kết nối tri thức Lớp 10
Quên mật khẩu ?
Hoặc đăng nhập với
Điểm cần để chuộc tội: 0
Bé Cà đang rất bực vì quỹ điểm của bạn đã đạt ngưỡng báo động. Bé Cà đã tắt quyền đặt câu hỏi của bạn. Mau kiếm bù điểm chuộc lỗi với bé Cà
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
Để nhận quà tặng voucher bạn cần hoàn thành một nhiệm vụ sau