Bài 14 trang 8 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Vẽ hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):x + y = 2\) và \(\left( {{d_2}} \right):2x + 3y = 0\)

Hỏi đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right):3x + 2y = 10\) có đi qua giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) hay không?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

-  Vẽ đường thẳng có phương trình  \(ax+by=c,\ (a,b \ne 0)\):

Ta có \(ax+by=c \Leftrightarrow y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\).

+) Cho \(x=0 \Rightarrow y=\dfrac{c}{b}\) ta được \(A{\left(0; \dfrac{c}{b}\right)}\)

+) Cho \(y=0 \Rightarrow x=\dfrac{c}{a} \) ta được \(B{\left( \dfrac{c}{a}; 0 \right)} \)

Đường thẳng đã cho là đường thẳng đi qua hai điểm \(A,\ B\).

- Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng \(y=ax+b\) và \(y=a'x+b'\) là nghiệm của phương trình: \(ax+b=a'x+b'\).

Giải phương trình trên ta tìm được \(x\). Thay giá trị của \(x\) vào phương trình \(y=ax+b\) hoặc \(y=a'x+b'\), ta tìm được tung độ giao điểm.

-  Đường thẳng \(ax+by=c\) đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) \( \Leftrightarrow ax_0+by_0=c\).

Lời giải chi tiết

- Vẽ đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):x + y = 2\)

Ta có \(\left( {{d_1}} \right):x + y = 2 \Leftrightarrow y= -x+2\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 2\) ta được \(A(0; 2)\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 2\) ta được \(B (2; 0)\)

Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A, \ B\).

- Vẽ đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):2x + 3y = 0\)

Ta có \(\left( {{d_2}} \right):2x + 3y = 0 \Leftrightarrow y = \displaystyle - {2 \over 3}x\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  0\) ta được \(O(0; 0)\)

Cho \(x = 3 \Rightarrow y =  - 2\) ta được \(C(3; -2)\)

Đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(O, \ C\).

- Hoành độ giao điểm \(M\) của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là nghiệm của phương trình:

\(-x+2= \displaystyle - {2 \over 3}x \Leftrightarrow \displaystyle  {1 \over 3}x = 2 \\ \Leftrightarrow x = 6\)

Suy ra tung độ giao điểm \(M\) là \( y = -6+2=-4\)

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là \( M(6;-4).\)

Thay \(x=6;y=-4\) vào phương trình đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) ta được:

\(3.6 + 2.\left( { - 4} \right) =10  \Leftrightarrow 18 - 8 = 10 \\  \Leftrightarrow 10=10 \ \text{(luôn đúng)}.\)

Vậy đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right):3x + 2y = 10\) đi qua giao điểm của  \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\).