Câu hỏi 14 - Mục Bài tập trang 83

1. Nội dung câu hỏi

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy \(AB = 10cm,\) cạnh bên \(SD = 15cm\). Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Chứng minh \(SO \bot MN.\) Từ đó tính độ dài đường cao SO của hình chóp.

b) Tính thể tích của hình chóp.

c) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

3. Lời giải chi tiết

a) Vì các mặt bên của hình chóp tứ giác đều là các tam giác cân bằng nhau nên các đường trung tuyến tương ứng của chúng bằng nhau, tức là \(SM = SN\). Tam giác SMN là tam giác cân tại S và O là trung điểm của MN nên \(SO \bot MN.\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 200\) nên \(AC = 10\sqrt 2 cm\)

Do đó, \(OA = \frac{1}{2}AC = 5\sqrt 2 cm\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SOA vuông tại O có: \(A{O^2} + S{O^2} = S{A^2}\) nên \(S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} = 175\) nên \(SO = \sqrt {175}  = 5\sqrt 7 cm\)

b) Thể tích của hình chóp đều S.ABCD là:

\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.5\sqrt 7 {.10^2} = \frac{{500\sqrt 7 }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\)

c) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SMA vuông tại M có: \(S{M^2} + A{M^2} = S{A^2}\)

Do đó, \(S{M^2} = S{A^2} - A{M^2} = 200\) nên \(SM = 10\sqrt 2 cm\)

Nửa chu vi đáy là: \(p = 20cm\)

Diện tích xung quanh của hình chóp là: \({S_{xq}} = SM.p = 10\sqrt 2 .20 = 200\sqrt 2 \left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích đáy ABCD là: \({S_{ABCD}} = {10^2} = 100\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD là:

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{ABCD}} = 200\sqrt 2  + 100 = 100\left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left( {c{m^2}} \right)\)