Bài 141 trang 97 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC.\) Lấy các điểm \(D,\, E\) theo thứ tự trên các cạnh \(AB,\, AC\) sao cho \(BD = CE.\) Gọi \(M,\, N,\, I,\, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(BE,\, CD,\, DE,\, BC.\) Chứng minh rằng \(IK\) vuông góc với \(MN.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Vận dụng kiến thức :

- Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.

- Tính chất đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

- Chứng minh \(MKNI\) là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.

Lời giải chi tiết

Trong \(∆ BCD\) ta có:

\(K\) là trung điểm của \(BC\) (gt)

\(N\) là trung điểm của \(CD\) (gt)

nên \(NK\) là đường trung bình của \(∆ BCD\)

\(⇒ NK // BD\) và \(NK =\displaystyle {1 \over 2}BD\) (1)

Trong \(∆ BED\) ta có:

\(M\) là trung điểm của \(BE\) (gt)

\(I\) là trung điểm của \(DE\) (gt)

nên \(MI\) là đường trung bình của \(∆ BED\)

\(⇒ MI // BD\) và \(MI =\displaystyle {1 \over 2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(MI // NK\) và \(MI = NK\)

nên tứ giác \(MKNI\) là hình bình hành

Trong \(∆ BEC\) ta có:

\(M\) là trung điểm của \(BE\) (gt)

\(K\) là trung điểm của \(BC\) (gt)

Nên \(MK\) là đường trung bình

Suy ra \(MK = \displaystyle {1 \over 2}CE\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mà \(NK =\displaystyle {1 \over 2}BD\) (theo (1)) và \(BD = CE\) (gt)

Suy ra: \(MK = KN\)

Vây hình bình hành \(MKNI\) là hình thoi.

\(⇒ IK ⊥ MN\) (tính chất hình thoi)