Bài 147 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2AD.\) Gọi \(P,\, Q\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,\, CD.\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AQ\) và \(DP,\) gọi \(K\) là giao điểm của \(CP\) và \(BQ.\) Chứng minh rằng \(PHQK\) là hình vuông.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Vận dụng dấu hiệu nhận biết của các hình đã học để tìm lời giải cho bài toán.

Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật

Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

Lời giải chi tiết

Xét tứ giác \(APQD\) ta có:

\(AB // CD\) (gt) hay \(AP // QD\)

\(AP =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AB\) (gt)

\(QD =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(CD\) (gt)

\(AB= CD\) (vì ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra: \(AP = QD\) nên tứ giác \(APQD\) là hình bình hành.

Lại có: \(\widehat A = {90^0}\) (vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra: Tứ giác \(APQD\) là hình chữ nhật

Mà \(AD = AP =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AB\)

Vậy : Tứ giác \(APQD\) là hình vuông

\(⇒ AQ ⊥ PD\) (tính chất hình vuông) \( \Rightarrow \widehat {PHQ} = {90^0}\) (1)

\(HP = HQ\) (tính chất hình vuông)

- Xét tứ giác \(PBCQ\) ta có:

\(PB // CD\)

\(PB =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AB\) (gt)

\(CQ =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(CD\) (gt)

\(AB = CD\) (do ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra: \(PB = CQ\) nên tứ giác \(PBCQ\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Lại có: \(\widehat B = {90^0}\) (vì ABCD là hình chữ nhật) suy ra tứ giác \(PBCQ\) là hình chữ nhật

Mà \(PB = BC\) (vì cùng bằng \(AD =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AB\))

Vậy: Tứ giác \(PBCQ\) là hình vuông

\(⇒ PC ⊥ BQ\) (tính chất hình vuông) \( \Rightarrow \widehat {PKQ} = {90^0}\)(2)

\(PD\) là tia phân giác \(\widehat {APQ}\) (tính chất hình vuông)

\(PC\) là tia phân giác \(\widehat {QPB}\) (tính chất hình vuông)

Suy ra: \(PD ⊥ PC\) (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù) \(⇒  \widehat {HPK} = {90^0}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác \(PHQK\) là hình chữ nhật có \(HP = HQ\) (chứng minh trên) nên \(PHQK\) là hình vuông.