Bài 149 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD.\) Trên cạnh \(AD\) lấy điểm \(F,\) trên cạnh \(DC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AF = DE.\) Chứng minh rằng \(AE = BF\) và \(AE ⊥ BF.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Vận dụng kiến thức về các trường hợp bằng nhau của tam giác.

- Áp dụng định lí: Tổng ba góc trong một tam giác bằng \(180^0\)

Lời giải chi tiết

Xét \(∆ ABF\) và \(∆ DAE:\)

\(AB = DA\) (gt)

\(\widehat {BAF} = \widehat {ADE} = {90^0}\)

\(AF = DE\) (gt)

Do đó: \(∆ ABF = ∆ DAE\, (c.g.c)\)

\(⇒ BF = AE\) và \({\widehat B_1} = {\widehat A_1}\)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(AE\) và \(BF.\)

\(\widehat {BAF} = {\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\)

Suy ra: \({\widehat B_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\)

Trong \(∆ ABH\) ta có:

\(\widehat {AHB} + {\widehat B_1} + {\widehat A_2} = {180^0}\)

\(\widehat {AHB} = {180^0} - \left( {{{\widehat B}_1} + {{\widehat A}_2}} \right)\)\( = {180^0} - {90^0} = {90^0}\)

Vậy \(AE ⊥ BF\).