Bài 15 trang 158 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\), các đường cao \(BH\) và \(CK\). Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm \(B, C, H, K\) cùng thuộc một đường tròn;

b) \(HK < BC.\) 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Để chứng minh các điểm thuộc cùng một đường tròn ta chứng minh các điểm này cách đều một điểm.

+ Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. 

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\)

Tam giác \(BCH\) vuông tại \(H\) có \(HI\)  là đường trung tuyến nên: \(HI= IB=IC=\dfrac{1}{2}BC\) (tính chất tam giác vuông)

Tam giác \(BCK\) vuông tại \(K\) có \(KI\) là đường trung tuyến nên:

\(KI =IB=IC= \dfrac{1}{2}BC\) (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: \(IB = IC = IH = IK=\dfrac{1}{2}BC.\)

Vậy bốn điểm \(B, C, H, K\)  cùng nằm trên một đường tròn tâm \(I\) bán kính bằng \(\dfrac{1}{2}BC\).

b) Trong đường tròn tâm \(I\) bán kính \(\dfrac{1}{2}BC,\) ta có \(KH\) là dây cung không đi qua tâm, \(BC\) là đường kính nên: \(KH < BC\) (trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính).