Bài 156 trang 99 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông sao cho \(\widehat {EDC} = \widehat {ECD} = {15^0}\).

a. Vẽ điểm F trong hình vuông sao cho \(\widehat {FAD} = \widehat {FDA} = {15^0}\). Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.

b. Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

a. Xét \(∆ EDC\) và \(∆ FDA :\)

\(\widehat {EDC} = \widehat {FAD} = {15^0}\)

\(DC = AD\) (do ABCD là hình vuông)

\(\widehat {ECD} = \widehat {FDA} = {15^0}\)

Do đó: \(∆ EDC = ∆ FDA\) (g.c.g)

 \(⇒ DE = DF\)

\(⇒ ∆ DEF\) cân tại D

Ta lại có:

\( \widehat {ADC} = \widehat {FDA} + \widehat {FDE} + \widehat {EDC}  \)\( \Rightarrow \widehat {FDE} = \widehat {ADC} - \left( {\widehat {FDA} + \widehat {EDC}} \right) \)\( = {90^0} - \left( {{{15}^0} + {{15}^0}} \right) = {60^0} \)

Vậy \(∆ DEF\) đều.

b. Vì \(\widehat {ECD} = {15^0}\) và \(\widehat {DCB} = {90^0}\) nên \(\widehat {ECB} = 90^0-{15^0}=75^0\)

Vì \(\widehat {FDA} = {15^0}\) và \(\widehat {FDE} = {60^0}\) (do tam giác FDE đều) nên \(\widehat {EDA} = 60^0+{15^0}=75^0\)

Xét \(∆ ADE\) và \(∆ BCE:\)

\(ED = EC\) (vì \(∆ EDC\) cân tại E)

\(\widehat {ADE} = \widehat {BCE} = {75^0}\)

\(AD = BC\) (do ABCD là hình vuông)

Do đó: \(∆ ADE = ∆ BCE\) (c.g.c)

\(⇒ AE = BE\) (1)

Trong \(∆ AFD\) ta có:

\(\widehat {AFD} = {180^0} - \left( {\widehat {FAD} + \widehat {FDA}} \right) \)\(= {180^0} - \left( {{{15}^0} + {{15}^0}} \right) = {150^0}  \)

\( \widehat {AFD} + \widehat {DFE} + \widehat {AFE} = {360^0}  \)\(  \Rightarrow \widehat {AFE} = {360^0} - \left( {\widehat {AFD} + \widehat {DFE}} \right) \)\( = {360^0} - \left( {{{150}^0} + {{60}^0}} \right) \)\(= {150^0} \)

Xét \(∆ AFD\) và \(∆ AEF:\)

\(AF\) cạnh chung

\(\widehat {AFD} = \widehat {AFE} = {150^0}\)

\(DF = EF\) (vì \(∆ DFE\) đều)

Do đó: \(∆ AFD = ∆ AEF\) (c.g.c)

\(⇒ AE = AD\)

\(AD = AB\) (do ABCD là hình vuông)

Suy ra: \(AE = AB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(AE = AB = BE.\)

Vậy \(∆ AEB\) đều.