Bài 1.58 trang 36 SBT giải tích 12

\(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx - 2\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp điều kiện cần, điều kiện đủ.

- Sử dụng điều kiện \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) tìm \(m\).

- Thay \(m\) tìm được ở trên vào hàm số và kiểm tra \(x = {x_0}\) có là điểm cực trị theo yêu cầu hay không.

Giải chi tiết:

\(y' = 3{x^2} + 2(m + 3)x + m\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) thì: \(y'(1) = 0 \Leftrightarrow 3m + 9 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\)

Thử lại, \(m =  - 3\) thì \(y = {x^3} - 3x - 2\).

Khi đó, \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

\(y'' = 6x;y''(1) = 6 > 0\) nên \(x = 1\) là điểm cực tiểu của hàm số (thỏa mãn yêu cầu)

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) khi \(m = 3\)

\(y =  - \dfrac{1}{3}({m^2} + 6m){x^3} - 2m{x^2} + 3x + 1\)  đạt cực đại tại \(x =  - 1\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp điều kiện cần, điều kiện đủ.

- Sử dụng điều kiện \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) tìm \(m\).

- Thay \(m\) tìm được ở trên vào hàm số và kiểm tra \(x = {x_0}\) có là điểm cực trị theo yêu cầu hay không.

Giải chi tiết:

\(y' =  - ({m^2} + 6m){x^2} - 4mx + 3\)

\(y'( - 1) =  - {m^2} - 6m + 4m + 3\)\( = ( - {m^2} - 2m - 1) + 4 =  - {(m + 1)^2} + 4\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 1\) thì :

\(y'( - 1) =  - {(m + 1)^2} + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {(m + 1)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 3\\m = 1\end{array} \right.\)

Thử lại,

+) Với \(m =  - 3\) ta có \(y' = 9{x^2} + 12x + 3\)

\( \Rightarrow y'' = 18x + 12\)\( \Rightarrow y''\left( { - 1} \right) =  - 18 + 12 =  - 6\; < 0\)

Suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 1\) (thỏa mãn).

+) Với \(m = 1\) ta có:

\(y' =  - 7{x^2} - 4x + 3\)\( \Rightarrow y'' =  - 14x - 4\) \( \Rightarrow y''( - 1) = 10 > 0\)

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\) (loại).

Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x =  - 1\) khi \(m =  - 3\).