Bài 16 trang 195 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Một tam giác có chiều cao bằng \(\dfrac{3}{4}\) cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm \(3dm\) và cạnh đáy giảm đi \(2dm\) thì diện tích của hình đó tăng thêm \(12d{m^2}.\) Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác đó.

Lời giải chi tiết

+) Gọi chiều cao và cạnh đáy của tam giác ban đầu lần lượt là \(x\left( {dm} \right)\) và \(y\left( {dm} \right)\)\(\left( {y > x\,\,;\,\,x,y > 0} \right).\)

Ta có diện tích tam giác bằng \(\dfrac{1}{2}xy\)

Vì chiều cao bằng \(\dfrac{3}{4}\) cạnh đáy nên ta có phương trình: \(x = \dfrac{3}{4}y\)

Nếu chiều cao tăng thêm \(3dm\) và cạnh đáy giảm đi \(2dm\) thì diện tích của hình tam giác mới là \(\dfrac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y - 2} \right)\) (với \(y>2)\) và diện tích mới này tăng \(12dm^2\) so với diện tích ban đầu nên ta có phương trình: \(\dfrac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = \dfrac{1}{2}xy + 12\)

Từ đó, ta có hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{gathered}x = \frac{3}{4}y \hfill \\\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right).\left( {y - 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 12 \hfill \\\end{gathered}  \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - \frac{3}{4}y = 0 \hfill \\\frac{1}{2}\left( {xy - 2x + 3y - 6} \right) = \frac{1}{2}xy + 12 \hfill \\\end{gathered}  \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}x - \frac{3}{4}y = 0 \hfill \\\frac{1}{2}xy - x + \frac{3}{2}y - 3 = \frac{1}{2}xy + 12 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - \frac{3}{4}y = 0 \hfill \\  x - \frac{3}{2}y =  - 15 \hfill \\\end{gathered}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  \frac{3}{4}y = 15 \hfill \\  x - \frac{3}{2}y =  - 15 \hfill \\\end{gathered}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  y = 20 \hfill \\  x - \frac{3}{2}.20 =  - 15 \hfill \\\end{gathered}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 15\,(thỏa\,mãn) \hfill \\  y = 20 \,(thỏa\,mãn)\hfill \\\end{gathered}  \right.\)

Vậy chiều cao và cạnh đáy của tam giác ban đầu lần lượt là \(15dm\,\,;\,\,20dm.\)