Bài 1.61 trang 36 SBT giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số:  \(y =  - {x^3} + 3x + 1\)

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Xét sự biến thiên.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực.

+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.

+ Tìm cực trị (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

* Tập xác định:\(D = \mathbb{R}\),

* Chiều biến thiên:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \)

+) \(y' =  - 3{x^2} + 3\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x =  - 1}\end{array}} \right.\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ; - 1),(1; + \infty )\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CD}} = 3\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1,{y_{CT}} =  - 1\).

Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

+) Có \(y'' =  - 6x\); \(y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 1\) nên điểm uốn \(U\left( {0;1} \right)\).

+) Đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;1} \right)\).

+) Vẽ đồ thị:

Chỉ ra phép biến hình biến \(\left( C \right)\) thành đồ thị \(\left( {C'} \right)\) của hàm số: \(y = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)

Phương pháp giải:

Nhận xét dạng hàm số của \(\left( {C'} \right)\) so với \(\left( C \right)\), từ đó suy ra phép biến hình cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Tịnh tiến \(\left( C \right)\) song song với trục \(Ox\) sang trái \(1\) đơn vị, ta được đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) của hàm số \(y = f(x) =  - {(x + 1)^3} + 3(x + 1) + 1\) hay \(f(x) =  - {(x + 1)^3} + 3x + 4\) \(\left( {{C_1}} \right)\).

Lấy đối xứng \(\left( {{C_1}} \right)\) qua trục \(Ox\), ta được đồ thị \(\left( {C'} \right)\) của hàm số \(y = g(x) = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)

Dựa vào đồ thị \(\left( {C'} \right)\), biện luận theo \(m\) số nghiệm của phương trình: \({(x + 1)^3} = 3x + m\)

Phương pháp giải:

- Biến đổi phương trình về dạng \({(x + 1)^3} - 3x - 4 = m - 4\).

- Từ đồ thị \(\left( {C'} \right)\) đã dựng và mối tương quan giữa số nghiệm của phương trình với tương giao đồ thị để biện luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({(x + 1)^3} = 3x + m\)\( \Leftrightarrow {(x + 1)^3} - 3x - 4 = m - 4\)

Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đường \(y = g(x) = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)  \(\left( {C'} \right)\;\) và\(y = m-4\)\(\left( {{d_1}} \right)\)

Từ đồ thị, ta suy ra:

+) Nếu \(\left[ \begin{array}{l}m - 4 <  - 3\\m - 4 > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\)  thì phương trình đã cho có một nghiệm.

+) Nếu \(\left[ \begin{array}{l}m - 4 =  - 3\\m - 4 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 5\end{array} \right.\) phương trình đã cho có hai nghiệm.

+) Nếu\( - 3 < m - 4 < 1 \Leftrightarrow 1 < m < 5\), phương trình đã cho có ba nghiệm.

Viết phương trình tiếp tuyến \(\left( d \right)\) của đồ thị \(\left( {C'} \right)\), biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng \(y =  - \dfrac{x}{9} + 1\)

Phương pháp giải:

- Tìm hệ số góc \(k\) của \(d\), sử dụng tính chất hai đường thẳng vuông góc nếu tích hai hệ số góc bằng \( - 1\).

- Giải phương trình \(y' = k\) tìm hoành độ tiếp điểm, suy ra tung độ.

- Viết phương trình tiếp tuyến tho công thức \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left( d \right)\) vuông góc với đường thẳng  \(y =  - \dfrac{x}{9} + 1\) nên ta có hệ số góc bằng \(9\).

Ta có: \(g'(x) = 3{(x + 1)^2} - 3\)

\(g'(x) = 9 \Leftrightarrow 3{\left( {x + 1} \right)^2} - 3 = 9\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 2\\x + 1 =  - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x =  - 3 \Rightarrow y =  - 3\end{array} \right.\)

+ Với \(x = 1,y = 1\) ta có tiếp tuyến: \(y = 9\left( {x - 1} \right) + 1\) hay \(y = 9x - 8\).

+ Với \(x =  - 3,y =  - 3\) ta có tiếp tuyến: \(y = 9\left( {x + 3} \right) - 3\) hay \(y = 9x + 24\).

Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là: \(y = 9x - 8\) và \(y = 9x + 24\).