Bài 17 trang 104 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Đường phân giác của góc B cắt đường chéo AC thành hai đoạn \(4\dfrac{2 }{7}m\) và \(5\dfrac{5}{ 7}m\). Tính các kích thước của hình chữ nhật.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\): 

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì ta có:

\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}\) 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}}\)

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác.

Lời giải chi tiết

Trong tam giác \(ABC\), gọi giao điểm đường phân giác của góc \(\widehat {ABC}\) với cạnh \(AC\) là \(E\).

Theo đề bài ta có:  

\(AE = 4\dfrac{2}{ 7}m,\,EC = 5\dfrac{5}{7}m.\)

Theo tính chất của đường phân giác, ta có: \(\dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}\)

Suy ra:

\(\dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{4\dfrac{2}{7}}}{{5\dfrac{5}{7}}} = \dfrac{{\dfrac{{30}}{7}}}{{\dfrac{{40}}{7}}} = \dfrac{3}{4}\)

Suy ra: \(\dfrac{{AB}}{ 3} = \dfrac{{BC}}{4} \Rightarrow \dfrac{{A{B^2}}}{ 9} = \dfrac{{B{C^2}}}{{16}}\)

Ta có \(AC = AE + EC\)\(\displaystyle = {4{2 \over 7} + 5{5 \over 7}}=10\) 

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:

\( A{B^2} + B{C^2}=A{C^2} \)\(=10^2=100\) 

Khi đó, ap dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\eqalign{
& {{A{B^2}} \over 9} = {{B{C^2}} \over {16}} = {{A{B^2} + B{C^2}} \over {9 + 16}} \cr 
& = {{A{B^2} + B{C^2}} \over {25}} = {{100} \over {25}} = 4 \cr} \)

Suy ra: \(A{B^2} = 9.4 = 36\)\( \Rightarrow AB = \sqrt {36}  = 6\left( m \right)\)

\(B{C^2} = 16.4 = 64 \)\(\Rightarrow BC = \sqrt {64}  = 8\left( m \right)\)

Vậy: \(AB = CD = 6m\)   

\(BC = AD = 8m.\)