Cho hàm số \(y = \dfrac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x\).
LG a
Xác định \(a\) để hàm số luôn luôn đồng biến.
Phương pháp giải:
- Xét trường hợp \(a = 1\), kiểm tra xem hàm số có luôn đồng biến hay không.
- Trường hợp \(a \ne 1\), hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(y' \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y' = (a - 1){x^2} + 2ax + 3a - 2\).
+) Với \(a = 1,y' = 2x + 1\;\) đổi dấu khi \(x\) đi qua \( - \dfrac{1}{2}\).
Hàm số không luôn luôn đồng biến.
+) Với \(a \ne 1\) thì với mọi \(x\) mà tại đó \(y' \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
{a^2} - \left( {a - 1} \right)\left( {3a - 2} \right) \le 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
{a^2} - 3{a^2} + 3a + 2a - 2 \le 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
- 2{a^2} + 5a - 2 \le 0
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\\left[ \begin{array}{l}a \ge 2\\a \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow a \ge 2\)
(khi \(a = 2\) thì \(y' = 0\;\) chỉ tại \(x = - 2\))
Vậy với \(a \ge 2\) hàm số luôn luôn đồng biến.
LG b
Xác định \(a\) để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng \(y = 0\).
- Tìm điều kiện để phương trình đó có ba nghiệm phân biệt và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(y = 0\) có ba nghiệm phân biệt. Ta có:
\(y = 0\)\(\Leftrightarrow \dfrac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x=0\)
\( \Leftrightarrow x\left[ {\dfrac{{(a - 1){x^2}}}{3} + ax + 3a - 2} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow x\left[ {(a - 1){x^2} + 3ax + 9a - 6} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\left( {a - 1} \right){x^2} + 3ax + 9a - 6 = 0\,\left( * \right)\end{array} \right.\)
\(y = 0\) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(0\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 \ne 0\\\Delta > 0\\9a-6 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 \ne 0\\9{a^2} - 4(a - 1)(9a - 6) > 0\\9a - 6 \ne 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 1\\
9{a^2} - 4\left( {9{a^2} - 15a + 6} \right) > 0\\
9a \ne 6
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 1\\
- 27{a^2} + 60a - 24 > 0\\
a \ne \frac{2}{3}
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 1\\\dfrac{{10 - 2\sqrt 7 }}{9} < a < \dfrac{{10 + 2\sqrt 7 }}{9}\\a \ne \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(a \in \left( {\dfrac{{10 - 2\sqrt 7 }}{9};\dfrac{{10 + 2\sqrt 7 }}{9}} \right)\backslash \left\{ {1;\dfrac{2}{3}} \right\}\).
LG c
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số ứng với \(a = \dfrac{3}{2}\).
Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: \(y = \left| {\dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}} \right|\)
Phương pháp giải:
- Thay \(a = \dfrac{3}{2}\) vào được hàm số cần khảo sát.
- Khảo sát tóm tắt:
+ Tìm TXĐ.
+ Xét chiều biến thiên.
+ Vẽ đồ thị.
- Dựng đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\):
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần dưới qua trục hoành và xóa phần dưới cũ đi.
Lời giải chi tiết:
Khi \(a = \dfrac{3}{2}\) thì \(y = \dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}\)
Ta có: \(y' = \dfrac{{{x^2}}}{2} + 3x + \dfrac{5}{2}\);\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 5\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Ta có:
\(y =\left| {\dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}} \right|\) \(= \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}\,neu\,\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2} \ge 0\\
- \left( {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}} \right)\,neu\,\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2} < 0
\end{array} \right.\)
Từ đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}\) ta suy ra ngay đồ thị hàm số \(y = \left| {\dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}} \right|\) như sau:
Unit 3. The Green Movement
Tác giả - Tác phẩm tập 1
Đề thi giữa học kì 1
Đề khảo sát chất lượng đầu năm
Chương 8. Nhận biết một số chất vô cơ
Quên mật khẩu ?
Hoặc đăng nhập với
Điểm cần để chuộc tội: 0
Bé Cà đang rất bực vì quỹ điểm của bạn đã đạt ngưỡng báo động. Bé Cà đã tắt quyền đặt câu hỏi của bạn. Mau kiếm bù điểm chuộc lỗi với bé Cà
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
Để nhận quà tặng voucher bạn cần hoàn thành một nhiệm vụ sau