Bài 18 trang 195 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Tìm hai số có tổng bằng \(20\) và tổng các bình phương của chúng bằng \(208.\)

Lời giải chi tiết

Gọi hai số cần tìm là \(x\) và \(y\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(x \ge y.\)

Vì hai số có tổng bằng \(20\) nên ta có phương trình: \(x+y=20\)

Vì tổng các bình phương của hai số đó bằng \(208\) nên ta có phương trình: \(x^2+y^2=208\)

Từ đó, ta có hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{gathered} x + y = 20\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ {x^2} + {y^2} = 208 \hfill \\\end{gathered}  \right.\,\,\)

Từ phương trình \(\left( 1 \right)\) ta suy ra \({\left( {x + y} \right)^2} = {20^2}\) hay \({x^2} + {y^2} + 2xy = 400\)\( \Rightarrow 2xy = 400 -({x^2} + {y^2})\)\( \Rightarrow 2xy=400- 208 \)

\(\Rightarrow 2xy =192\)\(\Rightarrow xy =96\)

Do đó ta có hệ: \(\left\{ \begin{gathered} x + y = 20\hfill \\ xy = 96 \hfill \\\end{gathered}  \right.\,\,\)

Suy ra các số là \(x\) và \(y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 20X + 96 = 0.\)

Giải phương trình này, ta có \(\Delta'=10^2-96=4>0\)

\(\Rightarrow X_1=10+2=12;\)\( X_2=10-2=8.\)

từ đó ta có nghiệm \(x = 12;y = 8.\)

Vậy hai số cần tìm là \(12\) và \(8.\)