Bài 19 trang 159 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn (O), đường kính \(AD = 2R\). Vẽ cung tâm \(D\) bán kính \(R\), cung này cắt đường tròn (O) ở \(B\) và \(C.\)  

a) Tứ giác \(OBDC\) là hình gì? Vì sao?

b) Tính số đo các góc \(CBD, CBO, OBA.\)

c) Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) là tam giác đều.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau thì tứ giác đó là hình thoi.

+ Tam giác cân có một góc bằng \(60^\circ \) là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(OB = OC = R\) (vì \(B, C\) nằm trên \((O ; R))\) 

\(DB = DC = R\) ( vì \(B, C\) nằm trên \((D ; R))\)

Suy ra: \(OB = OC = DB = DC.\)

Vậy tứ giác \(OBDC\) là hình thoi.

b) Ta có: \(OB = OD = BD = R\)

\(∆OBD\) đều \( \Rightarrow \widehat {OBD} = 60^\circ \)

Vì \(OBDC\) là hình thoi nên:

\(\widehat {CBD} = \widehat {OBC} = \dfrac{1 }{ 2}\widehat {OBD} = 30^\circ \)

Tam giác \(ABD\) nội tiếp trong (O) có \(AD\) là đường kính nên:

\(\widehat {ABD} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {OBD} + \widehat {OBA} = 90^\circ \)

Nên \(\widehat {OBA} = \widehat {ABD} - \widehat {OBD}\)\( = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \)

c) Tứ giác \(OBDC\) là hình thoi nên \(OD ⊥ BC\) hay \(AD ⊥ BC\)

Suy ra AD là đường trung trực của BC (vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và \(O\in AD\)) 

Ta có:     

\(AB = AC\) ( tính chất đường trung trực)

Suy ra tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)   (1)

Mà  \(\widehat {ABC} = \widehat {OBC} + \widehat {OBA} \)\(= 30^\circ  + 30^\circ  = 60^\circ \).  (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác \(ABC\) đều.