1. Nội dung câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\), tam giác \(SAB\) đều, đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\). Gọi \(H\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Khoảng cách từ điểm \(H\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) bằng
A. \(\frac{{a\sqrt {30} }}{5}\).
B. \(\frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).
C. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{{10}}\).
D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{5}\).
2. Phương pháp giải
Chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\), tính \(SH\)
Dựng hình chiếu \(K\) của \(H\) trên \(\left( {SAC} \right)\).
Tính \(HK\)
3. Lời giải chi tiết
Ta có \(AC \bot BD;AC = a\sqrt 2 \);
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\) và \(HM \cap AC = N\).
Do \(\Delta SAB\) là tam giác đều nên \(SH \bot AB;SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot AC\) ;
\(HM\) là đường trung bình tam giác \(ABD \Rightarrow HM//BD \Rightarrow HM \bot AC\)
\(HN = \frac{1}{2}HM = \frac{1}{4}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
Vì \(SH \bot AC;HN \bot AC \Rightarrow \left( {SHN} \right) \bot AC\)
Kẻ \(HK \bot SN\) tại \(K\).
Ta chứng minh được \(HK \bot SN;AC \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right)\) tại \(K\).
Suy ra: \(d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right) = HK\).
Ta có: \(HK = \frac{{HS.HN}}{{\sqrt {H{S^2} + H{N^2}} }}\) \( = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} }}\)\( = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).
Chọn C.
Unit 8: Conservation
Chương 1. Trao đổi chất và chuyển hóa năng lượng ở sinh vật
Bài 11: Tiết 4: Thực hành: Tìm hiểu về hoạt động kinh tế đối ngoại của Đông Nam Á - Tập bản đồ Địa lí 11
Review Unit 4
Chủ đề 5: Đạo đức kinh doanh
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SGK Toán 11 - Cánh Diều
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán Lớp 11