Bài 19 trang 87 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác cân \(BAC\) có \(BA = BC = a, AC = b.\) Đường phân giác góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(M\), đường phân giác góc \(C\) cắt \(BA\) tại \(N\) (h16).

a) Chứng minh rằng: \(MN // AC.\) 

b) Tính \(MN\) theo \(a, b\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Tính chất đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

- Định lí đảo của định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh một tam giác và định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

- Hệ quả của định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh còn lại của một của một tam giác và song song với các cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta BAC\) có \(AM\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\)

\(\Rightarrow \displaystyle{{MC} \over {MB}} = {{AC} \over {AB}}\) (tính chất đường phân giác )     (1)

\(CN\) là đường phân giác của \(\widehat {BCA}\)

\(\Rightarrow \displaystyle{{NA} \over {NB}} = {{AC} \over {BC}}\) (tính chất đường phân giác )   (2)

Lại có: \(AB = CB = a\) (gt)    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\displaystyle {{MC} \over {MB}} = {{NA} \over {NB}}\)

Xét \(\Delta BAC\) có \(\displaystyle {{MC} \over {MB}} = {{NA} \over {NB}}\) nên theo định lí đảo của định lí Ta-lét ta có \(MN // AC\).

b) Ta có: \(\displaystyle  {{MC} \over {MB}} = {{AC} \over {AB}}\) (chứng minh trên )

\( \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MB}} + 1 = \dfrac{{AC}}{{AB}} + 1\)

\(\Rightarrow \displaystyle {{MC + MB} \over {MB}} = {{AC + AB} \over {AB}} \)

\(\Rightarrow \displaystyle {{CB} \over {MB}} = {{AC + AB} \over {AB}}\)

\(\Rightarrow \displaystyle{a \over {MB}} = {{b + a} \over a}\)

\(\Rightarrow \displaystyle MB = {{{a^2}} \over {a + b}}\)

Xét \(\Delta BAC\) có \(MN // AC\) (chứng minh trên)

Theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle {{MN} \over {AC}} = {{MB} \over {BC}}\)

\( \Rightarrow MN = \dfrac{{AC.MB}}{{BC}} = \dfrac{{b.\dfrac{{{a^2}}}{{a + b}}}}{a} \)\(\,= \dfrac{{ab}}{{a + b}}\)