Bài 20 trang 159 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

a)   Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\), dây \(CD\). Các đường vuông góc với \(CD\) tại \(C\) và \(D\) tương ứng cắt \(AB\) ở \(M\) và \(N\). Chứng minh rằng \(AM = BN.\) 

b) Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\). Trên \(AB\) lấy các điểm \(M, N\) sao cho \( AM = BN\). Qua \(M\) và qua \(N\), kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở \(C\) và \(D\). Chứng minh rằng \(MC\) và \(ND\) vuông góc với \(CD\).  

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Áp dụng định lí : Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+ Áp dụng đường trung bình của hình thang: Đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên của hình thang thì song song với hai đáy của hình thang đó.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(CM ⊥CD\)

\(DN⊥CD\)

Suy ra:  \(CM // DN\)

Kẻ  \(OI ⊥CD\)

Suy ra:  \(OI // CM // DN\)

Xét (O) có \(OI ⊥CD\) mà OI là 1 phần đường kính và DC là dây của đường tròn nên \(IC = ID\) (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Hình thang MCDN (do \(CM // DN\)) có  \(OI // CM // DN\) và \(IC=ID\) 

Suy ra:  \(OM = ON\) (1)

Mà: \(AM + OM = ON + BM( = R)\)                (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  \(AM = BN.\)

b) Ta có:  \(MC // ND\) (gt)

Suy ra tứ giác  \(MCDN\) là hình thang

Lại có:    \(OM + AM = ON + BN (= R)\)

Mà  \(AM = BN\) (gt)

Suy ra:  \(OM = ON\)

Kẻ  \(OI ⊥ CD \)     (3)

Xét (O) có \(OI ⊥CD\) mà OI là 1 phần đường kính và DC là dây của đường tròn nên \(IC = ID\) (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Khi đó  \(OI\) là đường trung bình của hình thang \(MCDN\) (vì \(OM = ON\) và \(IC = ID\)) 

Suy ra:  \(OI // MC // ND\)      (4)

Từ (3) và (4) suy ra:  \(MC ⊥ CD, ND ⊥ CD.\)