Giải bài 20 trang 67 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(1; 5), B(–1; –1), C(2; – 5).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

c) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD = \(\frac{3}{2}\)AB

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 2; - 6)\); \(\overrightarrow {AC}  = (1; - 10)\). Vì \(\frac{{ - 2}}{1} \ne \frac{{ - 6}}{{ - 10}}\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng 

b) G(a; b) là trọng tâm của ∆ABC \( \Rightarrow G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)

c) Gọi \(D(a;b)\)

Theo giả thiết, ABCD là hình thang có AB // CD và CD = \(\frac{3}{2}\)AB \( \Rightarrow \overrightarrow {CD}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} \)

Ta có: \(\overrightarrow {CD}  = (a - 2;b + 5),\overrightarrow {AB}  = ( - 2; - 6)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CD}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = \frac{3}{2}.2\\b + 5 = \frac{3}{2}.6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 4\end{array} \right.\). Vậy D(5; 4)