Bài 20 trang 87 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có \(AB = 12cm, AC = 20cm,\) \(BC = 28cm.\) Đường phân giác góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(D.\) Qua \(D\) kẻ \(DE // AB\) (\(E\) thuộc \(AC\)) (h17).

a) Tính độ dài đoạn thẳng \(BD, DC\) và \(DE\).

b) Cho biết diện tích tam giác \(ABC\) là \(S\), tính diện tích các tam giác \(ABD, ADE\) và \(DCE.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Tính chất đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

- Hệ quả của định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh còn lại của một của một tam giác và song song với các cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho.

- Tính chất của tỉ lệ thức:  \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}}\)

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác \(ABC\) có \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) ta có: 

\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)

Suy ra:

\(  \displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)

\(\Rightarrow \displaystyle{{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

\(\Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

\(\Rightarrow \displaystyle DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{28.12} \over {12 + 20}} \)\(\, = 10,5\; (cm)\)

\(\Rightarrow DC = BC - DB = 28 - 10,5 \)\(\,= 17,5\; (cm)\)

Trong tam giác \(ABC\) có \(DE // AB\) nên theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:

\(\displaystyle {{DC} \over {BC}} = {{DE} \over {AB}}\)

\(\Rightarrow \displaystyle DE = {{DC.AB} \over {BC}} = {{17,5.12} \over {28}} = 7,5\)\(\;  (cm)\)

b) Vì \(∆ABD\) và \(∆ABC\) có chung đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) do đó,

\(\displaystyle \frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{DB}}{{BC}} = \frac{{10,5}}{{28}} = \frac{{21}}{{56}} = \frac{3}{8}\)

Vậy \(\displaystyle {S_{ABD}} = {3 \over 8}S\)

\({S_{ADC}} = {S_{ABC}} - {S_{ABD}} \)\(\,\displaystyle = S - {3 \over 8}S = {8 \over 8}S - {3 \over 8}S = {5 \over 8}S\)

Vì \(DE // AB\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {EDA}\) (cặp góc so le trong)   (1)

\(AD\) là đường phân giác góc \(A\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {EAD} = \widehat {EDA}\)

Do đó \(\Delta AED\) cân tại \(E\)

\( \Rightarrow AE = DE\) (tính chất tam giác cân).

 Vì \(∆ADE\) và \(∆ADC\) có chung đường cao kẻ từ đỉnh \(D\) do đó,

\(\displaystyle {{{S_{ADE}}} \over {{S_{ADC}}}} = {{AE} \over {AC}} = {{DE} \over {AC}} = {{7,5} \over {20}}\)

Vậy \(\displaystyle {S_{ADE}} = {{7,5} \over {20}}.{S_{ADC}} = {{7,5} \over {20}}.{5 \over 8}S \)\(\,\displaystyle= {{7,5} \over {32}}S\)

Ta có \(\displaystyle {S_{DCE}} = {S_{ADC}} - {S_{ADE}} \)\(\,\displaystyle = {5 \over 8}S - {{7,5} \over {32}}S = {{12,5} \over {32}}S\).