Bài 21* trang 159 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\). Dây \(CD\) cắt đường kính \(AB\) tại \(I\). Gọi \(H\) và \(K\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(A\) và \(B\) đến \(CD\). Chứng minh rằng \(CH = DK.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Áp dụng định lí : Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+ Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác: Đường thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. 

Lời giải chi tiết

Kẻ \(OM  ⊥ CD\) cắt \(AD\) tại \(N.\)

Xét đường tròn (O) có \(OM  ⊥ CD\) tại M mà OM là 1 phần đường kính và CD là dây của đường tròn nên \(MC = MD\) ( đường kính vuông góc với dây thi đi qua trung điểm của dây đó )

Hay \(MH + CH = MK + KD\)     (1)

Ta có: \(OM // BK\) (cùng vuông góc với CD)

Hay:     \(NO // BK\)

Xét tam giác AKB có \(NO // BK\) và  \(OA = OB (= R)\)

Suy ra: \(NA = NK\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Lại có: \(OM // AH\) ( cùng vuông góc với CD)

Hay:     \(MN // AH\)

Xét tam giác AKH có \(MN // AH\) và \(NA = NK\) (chứng minh trên)

Suy ra:  \(MH = MK\) ( tính chất đường trung bình của tam giác)            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(CH = DK.\)