Bài 2.1 trang 63 SBT hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) và điểm \(M\) thuộc miền trong của tam giác \(ACD\). Gọi \(I\) và \(J\) tương ứng là hai điểm trên cạnh \(BC\) và \(BD\) sao cho \(IJ\) không song song với \(CD\).

a) Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((IJM)\) và \((ACD)\).

b) Lấy \(N\) là điểm thuộc miền trong của tam giác \(ABD\) sao cho \(JN\) cắt đoạn \(AB\) tại \(L\). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((MNJ)\) và \((ABC)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:

- Xác định điểm chung thứ nhất dễ nhận thấy.

- Tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và chúng cắt nhau.

- Tìm giao điểm của hai đường thẳng đó ta được giao điểm thứ hai của hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

a) Nhận xét: Do IJ không song song với CD và chúng cùng nằm trong mặt phẳng (BCD) nên khi kéo dài chúng gặp nhau tại một điểm.

Trong \((BCD)\), gọi \(K = IJ \cap CD\).

Ta có: \(M\) là điểm chung thứ nhất của \((ACD)\) và \((IJM)\);

\(\left\{ \matrix{
K \in IJ \hfill \cr 
IJ \subset \left( {MIJ} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left( {MIJ} \right)\) và  \(\left\{ \matrix{K \in CD \hfill \cr C{\rm{D}} \subset \left( {AC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left( {AC{\rm{D}}} \right)\)

Vậy \(\left( {MIJ} \right) \cap \left( {ACD} \right) = MK\)

b) Với \(L = JN \cap AB\) ta có:

\(\left\{ \matrix{
L \in JN \hfill \cr 
JN \subset \left( {MNJ} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow L \in \left( {MNJ} \right)\)

\(\left\{ \matrix{
L \in AB \hfill \cr 
AB \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow L \in \left( {ABC} \right)\)

Như vậy \(L \) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \((MNJ) \) và \((ABC)\)

Gọi \(P = JL \cap A{\rm{D}},Q = PM \cap AC\)

Ta có: 

\(\left\{ \matrix{
Q \in PM \hfill \cr 
PM \subset \left( {MNP} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow Q \in \left( {MNJ} \right)\)

Và \(\left\{ \matrix{Q \in AC \hfill \cr AC \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow Q \in \left( {ABC} \right)\)

Nên \(Q\) là điểm chung thứ hai của \((MNJ)\) và \((ABC)\)

Vậy \(LQ = \left( {ABC} \right) \cap \left( {MNJ} \right)\).