Bài 22 trang 88 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác cân \(ABC\; (AB = AC)\), đường phân giác góc \(B\) cắt \(AC\) tại \(D\) và cho biết \(AB = 15cm, BC = 10cm\) (h19).

a) Tính \(AD, DC.\)

b) Đường vuông góc với \(BD\) tại \(B\) cắt đường thẳng \(AC\) kéo dài tại \(E\). Tính \(EC.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Tính chất đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

- Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc.

- Tính chất:  \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}}\)

Lời giải chi tiết

a) Vì \(BD\) là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên ta có:

\(\displaystyle {{AD} \over {DC}} = {{AB} \over {BC}}\) (tính chất đường phân giác của tam giác)

Áp dụng tính chất mở rộng của tỉ lệ thức ta có:

\(\displaystyle {{AD} \over {DC}} = {{AB} \over {BC}}\)

\( \Rightarrow \displaystyle  {{AD} \over {AD + DC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\)

\( \Rightarrow \displaystyle  {{AD} \over {AC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\)

Mà \(∆ ABC\) cân tại \(A\) nên \(AC = AB = 15\; (cm)\).

\( \Rightarrow \displaystyle {{AD} \over {15}} = {{15} \over {15 + 10}} \)

\( \Rightarrow \displaystyle  AD = {{15.15} \over {25}} = 9\; (cm)\)

Vậy \(DC = AC - AD = 15 - 9 = 6 \;(cm)\).

b) Vì \(BE ⊥ BD\) nên \(BE\) là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh \(B\) (tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc)

\( \Rightarrow \displaystyle {{EC} \over {EA}} = {{BC} \over {BA}}\) (tính chất đường phân giác )

\( \Rightarrow \displaystyle {{EC} \over {EC + AC}} = {{BC} \over {BA}} \)

\(\Rightarrow EC.BA = BC\left( {EC + AC} \right)\)

\(\Rightarrow  EC.BA - EC.BC = BC.AC \)

\(  \Rightarrow EC\left( {BA - BC} \right) = BC.AC  \)

\( \Rightarrow \displaystyle  EC = {{BC.AC} \over {BA - BC}} = {{10.15} \over {15 - 10}} = 30\)\(\;(cm).\)