Bài 2.22 trang 38

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\), ta có \({5^n} \ge {3^n} + {4^n}\)

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 2\) ta có \({5^2} = {3^2} + {4^2}\)

Vậy BĐT đúng với \(n = 2\)

Giải sử BĐT đúng với \(n = k\) tức là ta có \({5^k} \ge {3^k} + {4^k}\)

Ta chứng minh BĐT đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({5^{k + 1}} \ge {3^{k + 1}} + {4^{k + 1}}\)

Thật vậy, ta có

\({3^{k + 1}} + {4^{k + 1}} = {3.3^k} + {4.4^k} \le 4.\left( {{3^k} + {4^k}} \right) \le {4.5^k} \le {5.5^k} = {5^{k + 1}}\)

Vậy BĐT đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\).