Bài 2.45 trang 83 SBT hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang (đáy lớn \(AD\)). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SC\).

a) Xác định giao điểm \(M\) của \( AI\) và \((SCD)\).

b) Chứng minh \(IJ\parallel \left( {SAD} \right)\).

c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt  bởi mp \((P)\) qua \(I\), song song với \(SD\) và \(AC\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Mở rộng mặt phẳng \((SCD)\), từ đó tìm giao điểm \(M\).

b) Chứng minh \(IJ\) song song với một đường thẳng nằm trong \((SAD)\).

c) Xác định giao tuyến của \((P)\) với các mặt của hình chóp.

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(O' = AB \cap C{\rm{D}}\).

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
O' \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\
O' \in CD \subset \left( {SCD} \right)
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow O' \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\)

Mà \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) nên \(SO'= \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\)

Trong (SAB) gọi \(M = AI \cap SO'\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
M \in AI\\
M \in SO' \subset \left( {SCD} \right)
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow M = AI \cap \left( {SCD} \right)\)

b) Tam giác SBC có I, J lần lượt là trung điểm SB, SC nên IJ là đường trung bình của tam giác SBC.

Do đó IJ//BC. Mà BC//AD nên IJ//AD

Mà \(AD \subset \left( {SAD} \right)\) nên IJ//(SAD).

c)

Đường thẳng qua \(I\) song song với \(SD\) cắt \(BD\) tại \(K\).

Do \({{OB} \over {O{\rm{D}}}} = {{BC} \over {A{\rm{D}}}} < 1\) nên \(OB < OD\).

Do đó điểm \(K\) thuộc đoạn \(OD\).

Qua \(K\), kẻ đường thẳng song song với \(AC \) cắt \(DA, DC, BA\)  lần lượt tại \(E, F, P\).

Gọi \(R = IP \cap SA\). Kéo dài \(PI\) cắt \(SO’\) tại \(N\)

Gọi \(L = NF \cap SC\)

Ta có thiết diện là ngũ giác \(IREFL\).