Bài 2.49 trang 125 SBT giải tích 12

\(\displaystyle {\log _2}({2^x} + 1).{\log _2}({2^{x + 1}} + 2) = 2\)

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(\displaystyle t = {\log _2}({2^x} + 1)\).

- Biến đổi phương trình về bậc hai ẩn \(\displaystyle t\).

- Giải phương trình và suy ra nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(PT\Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right) . {\log _2}\left( {{{2.2}^x} + 2} \right) = 2\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow  {\log _2}({2^x} + 1).{\log _2}\left[ {2({2^x} + 1)} \right] = 2\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right).\left[ {{{\log }_2}2 + {{\log }_2}\left( {{2^x} + 1} \right)} \right] = 2\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow {\log _2}({2^x} + 1).\left[ {1 + {{\log }_2}({2^x} + 1)} \right] = 2\)

Đặt \(\displaystyle t = {\log _2}({2^x} + 1)\), ta có phương trình \(\displaystyle t\left( {1 + t} \right) = 2\; \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 2\end{array} \right.\)

\(\displaystyle  \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}({2^x} + 1) = 1\\{\log _2}({2^x} + 1) =  - 2\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} + 1 = 2\\{2^x} + 1 = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1\\{2^x} =  - \frac{3}{4}(l)\end{array} \right.\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow x = 0\)

\(\displaystyle {x^{\log 9}} + {9^{\log x}} = 6\)

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Thu gọn phương trình và đặt \(\displaystyle t = {x^{\log 9}}\).

- Giải phương trình ẩn \(\displaystyle t\) và kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(\displaystyle x > 0\).

Ta có: \(\displaystyle \log ({x^{\log 9}}) = \log 9.\log x\) và \(\displaystyle \log ({9^{\log x}}) = \log x.\log 9\)

Nên \(\displaystyle \log ({x^{\log 9}}) = \log ({9^{\log x}})\) suy ra \(\displaystyle {x^{\log 9}} = {9^{\log x}}\)

Đặt \(\displaystyle t = {x^{\log 9}}\), ta được phương trình \(\displaystyle 2t = 6 \Leftrightarrow t = 3\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {x^{\log 9}} = 3\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \log ({x^{\log 9}}) = \log 3\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow \log 9.\log x = \log 3\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \log x = \frac{{\log 3}}{{\log 9}} = \frac{{\log 3}}{{\log {3^2}}} = \frac{{\log 3}}{{2\log 3}}\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow \log x = \frac{1}{2}\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow x = \sqrt {10} \)  (thỏa mãn điều kiện \(\displaystyle x > 0\))

\(\displaystyle {x^{3{{\log }^3}x - \frac{2}{3}\log x}} = 100\sqrt[3]{{10}}\)

Phương pháp giải:

Logarit cơ số \(\displaystyle 10\) cả hai vế, đặt ẩn phụ \(\displaystyle t = \log x\) và giải phương trình.

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(\displaystyle x > 0\).

Lấy logarit thập phân hai vế của phương trình đã cho, ta được:

\(\begin{array}{l}
\log \left[ {{x^{3{{\log }^3}x - \frac{2}{3}\log x}}} \right] = \log \left( {100\sqrt[3]{{10}}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {3{{\log }^3}x - \frac{2}{3}\log x} \right)\log x = \log \left( {{{10}^2}{{.10}^{\frac{1}{3}}}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {3{{\log }^3}x - \frac{2}{3}\log x} \right)\log x = \log {10^{\frac{7}{3}}}
\end{array}\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow (3{\log ^3}x - \frac{2}{3}\log x).\log x = \frac{7}{3}\)

\( \Leftrightarrow 3{\log ^4}x - \frac{2}{3}{\log ^2}x - \frac{7}{3} = 0\)

Đặt \(\displaystyle t = \log x\), ta được phương trình \(\displaystyle 3{t^4} - \frac{2}{3}{t^2} - \frac{7}{3} = 0\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow 9{t^4} - 2{t^2} - 7 = 0\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} = 1\\{t^2} =  - \frac{7}{9}(l)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 1\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\log x = 1\\\log x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = \frac{1}{{10}}\end{array} \right.\).

\(\displaystyle 1 + 2{\log _{x + 2}}5 = {\log _5}(x + 2)\)

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(\displaystyle t = {\log _5}(x + 2)\), giải phương trình ẩn \(\displaystyle t\) và suy ra nghiệm.

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\x + 2 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x \ne - 1\end{array} \right.\)

Đặt \(\displaystyle t = {\log _5}(x + 2)\Leftrightarrow x + 2 = {5^t}\) ta có:

\(\begin{array}{l}
1 + 2{\log _{{5^t}}}5 = t\\
\Leftrightarrow 1 + \frac{2}{t}{\log _5}5 = t
\end{array}\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow 1 + \frac{2}{t} = t\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0,t \ne 0\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _5}(x + 2) =  - 1\\{\log _5}(x + 2) = 2\end{array} \right.\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = \frac{1}{5}\\x + 2 = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{9}{5}\\x = 23\end{array}(TM) \right.\).