Bài 29 trang 161 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn \((O),\) hai dây \(AB, CD\) bằng nhau và cắt nhau tại điểm \(I\) nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng:

\(a)\) \(IO\) là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây \(AB\) và \(CD.\)

\(b)\) Điểm \(I\) chia \(AB,\) \(CD\) thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một. 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn:

+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Kẻ \(OH ⊥ AB,\) \(OK ⊥ CD\)

Ta có: \(AB = CD\;\; (gt)\)

Suy ra: \(OH = OK\) (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Do đó O nằm trên tia phân giác của góc BID (tính chất đường phân giác)

Vậy \(IO\) là tia phân giác của góc \(BID\) 

\(b)\) Xét hai tam giác \(OIH\) và \(OIK,\) ta có:

+) \(\widehat {OHI} = \widehat {OKI} = 90^\circ \)

+) \(OI\) chung

+) \(OH = OK\) (chứng minh trên)

Suy ra: \(∆OIH = ∆OIK\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: \(IH = IK      \;(1)\)

Xét (O) có \(OH ⊥ AB\) nên \(HA = HB = \displaystyle {1 \over 2}AB\) (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Xét (O) có \(OK ⊥ DC\) nên \(KC = KD =\displaystyle {1 \over 2}CD\) (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Mà \(AB = CD\) (gt) nên \(HA = KC\;\) hay \(AI+IH=IC+IK\) mà \(IH=IK\) (theo (1))

Suy ra: \(IA = IC\)

Ta lại có \(AB= CD\) (gt) hay \(IA+IB=IC+ID\) mà \(IA=IC\) (cmt) nên \(IB = ID.\)

Vậy \(IA=IC, IB=ID\).