Câu hỏi 3 - Mục Bài tập trang 39

1. Nội dung câu hỏi

Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên \(\mathbb{R}\).

a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 2\;khi\;x \le 2\\\frac{1}{{x + 1}}\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x > 2\end{array} \right.\);

b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x\;khi\;x \le 1\\\frac{2}{x} + 1\;\;\;\;\;khi\;x > 1\end{array} \right.\).

3. Lời giải chi tiết 

a) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{3} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - x + 2} \right) = 4\) nên f(x) gián đoạn tại \(x = 2\). Do đó, f(x) không có giới hạn tại 2, không có đạo hàm tại 2.

b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{2}{x} + 1} \right) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + 2x} \right) = 3;f\left( 1 \right) = 3\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\). Do đó, hàm số f(x) liên tục tại \(x = 1\).

Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\frac{2}{x} + 1 - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} =  - 2;\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 1}} = 4\)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)

Do đó, không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)

Vậy không tồn tại đạo hàm tại \(x = 1\).