Bài 30 trang 170 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Tam giác đều \(ABC\) có độ dài cạnh là \(a,\) ngoại tiếp một đường tròn.

Cho hình quay một vòng xung quanh đường cao \(AH\) của tam giác đó, (xem hình 104), ta được một hình nón ngoại tiếp hình cầu. Tính thể tích phần hình nón bên ngoài hình cầu.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Thể tích hình nón có bán kính đáy \(r\), chiều cao \(h\) là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

- Thể tích hình cầu bán kính \(r\) là: \(\displaystyle V ={4 \over 3}\pi {r^3}\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(h\) là đường cao của tam giác đều, \(r\) là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đó.

Trong \(\Delta  AHC\) có \(\widehat {AHC} = 90^o; \widehat C = 60^o\).

\(\displaystyle AH = AC.\sin C = a.\sin {60^{^0}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

\(\Delta  ABC\) đều, tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác đồng thời là giao ba đường trung tuyến, giao ba đường trung trực nên ta có \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)

\(\displaystyle r = OH={1 \over 3}AH = {{a\sqrt 3 } \over 6}\)

Thể tích hình nón là: 

\(\displaystyle {V_1} = {1 \over 3}\pi .B{H^2}.AH \)\(\,\displaystyle = {1 \over 3}\pi {\left( {{a \over 2}} \right)^2}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {24}}\) (đơn vị thể tích)

Thể tích hình cầu là:

\(\displaystyle {V_2} = {4 \over 3}\pi {r^3} = {4 \over 3}\pi .{\left( {{{a\sqrt 3 } \over 6}} \right)^3} \)\(\,\displaystyle = {4 \over 3}\pi .{{3{a^3}\sqrt 3 } \over {216}} = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {54}}\) (đơn vị thể tích).

Phần thể tích hình nón nằm ngoài hình cầu là:

\(V=V_1-V_2=\displaystyle {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {24}} - {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {54}} \)\(\,\displaystyle = {{9\pi {a^3}\sqrt 3  - 4\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {216}} = {{5\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {216}}\) (đơn vị thể tích)