Câu hỏi 30 - Mục Bài tập trang 70

1. Nội dung câu hỏi

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(a\). Lấy điểm \(E\) thuộc cạnh \(BC\), điểm \(F\) thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(CE=AF\). Các đường thẳng \(AE,BF\) cắt đường thẳng \(DC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Các đường thẳng \(NA,MB\) cắt nhau tại \(K\).

a)      Chứng minh: \(\Delta KAB\backsim \Delta KNM;\Delta CEM\backsim \Delta DAM;\Delta NFD\backsim \Delta NBC\).

b)     So sánh \(CM.DN\) và \(A{{B}^{2}}\).

c)      Các điểm \(E,F\) lấy ở vị trí nào trên các cạnh \(BC,AD\) thì \(MN\) có độ dài nhỏ nhất?

3. Lời giải chi tiết

a)      Vì \(AB//MN\) nên \(\Delta KAB\backsim \Delta KMN\).

Vì \(CE//AD\) nên \(\Delta CEM\backsim \Delta DAM\)

Vì \(DF//BC\) nên \(\Delta NFD\backsim \Delta NBC\).

b)     Vì \(\Delta CEM\backsim \Delta BEA\) nên \(\frac{CM}{BA}=\frac{CE}{BE}\) (1)

Vì \(\Delta NDF\backsim \Delta BAF\) nên \(\frac{AF}{FD}=\frac{BA}{DN}\) (2)

Từ (1) và (2) và \(CE=AF,BE=DF\), ta có \(\frac{CM}{BA}=\frac{CE}{BE}=\frac{AF}{FD}=\frac{BA}{DN}\).

Do đó \(CM.DN=A{{B}^{2}}\).

c)      Ta có \({{\left( CM-DN \right)}^{2}}\ge 0\), suy ra \({{\left( CM+DN \right)}^{2}}\ge 4CM.DN\) hay \(CM+DN\ge 2\sqrt{CM.DN}=2AB\). Do đó \(MN=DN+CD+CM\ge 3AB\) (vì \(AB=CD\)). Vậy \(MN\) có độ dài nhỏ nhất bằng \(3AB\). Dấu “=” xảy ra khi \(CM=DN=a\) hay \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\).