Bài 3.2 phần bài tập bổ sung trang 89 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Hình bình hành \(ABCD\) có độ dài cạnh \(AB = a = 12,5cm, \) \(BC = b = 7,25cm.\) Đường phân giác của góc \(B\) cắt đường chéo \(AC\) tại \(E\), đường phân giác của góc \(D\) cắt đường chéo \(AC\) tại \(F\) (h.bs.3).

Hãy tính độ dài đường chéo \(AC,\) biết \(EF = m = 3,45cm.\)

(Tính chính xác đến hai chữ số thập phân).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Tính chất đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

- Tính chất: Hình bình hành có các góc đối bằng nhau, các cạnh đối song song và bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\).

Mặt khác, \(BE\) và \(DF\) lần lượt là phân giác của các góc \(B\) và \(D\), suy ra \(\widehat {ADF} = \widehat {CBE} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} = \dfrac{1}{2}\widehat {ADC}\)

Vì \(AD//BC\) nên \(\widehat {DAF} = \widehat {BCE}\) (cặp góc so le trong)

Xét \(∆ ADF \) và \( ∆ CBE\) có:

\(\widehat {ADF} = \widehat {CBE}\) (cmt)

\(AD = CB = b\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành)

\(\widehat {DAF} = \widehat {BCE}\) (cmt)

\(⇒ ∆ ADF = ∆ CBE\) (g.c.g)

\(⇒ AF = CE\) (hai cạnh tương ứng).

Đặt \(AF = CE = x\)

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác vào tam giác \(ABC\) phân giác \(BE\), ta có:

\(\eqalign{  & {{AB} \over {BC}} = {{AE} \over {CE}} = {{AF + FE} \over {CE}}  \cr  &  \Rightarrow {a \over b} = {{x + m} \over x} \cr& \Rightarrow ax = b\left( {x + m} \right) \cr&\Rightarrow ax = bx + bm \cr&\Rightarrow ax - bx = bm \cr&\Rightarrow x\left( {a - b} \right) = bm\cr&\Rightarrow x = {{mb} \over {a - b}}  \cr} \)

Ta có \( AC =AF+FE+EC= x + m+x \)\(\,\displaystyle=2x+m = {{2mb} \over {a - b}} + m = {{m\left( {a + b} \right)} \over {a - b}}\)

Thay số \(a = 12,5cm, \; b = 7,25cm,\)\(\;m = 3,45cm\) ta được:

\(\displaystyle AC = {{3,45\left( {12,5 + 7,25} \right)} \over {12,5 - 7,25}} \approx 12,98\) \( (cm).\)