Bài 32* trang 161 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(5dm,\) điểm \(M\) cách \(O\) là \(3dm.\)

\(a)\) Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua điểm \(M.\)

\(b)\) Tính độ dài dây dài nhất đi qua \(M.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

+) Trong hai dây của đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Dây đi qua \(M\) ngắn dây là dây \(AB\) vuông góc với \(OM\) (xem bài 27 trang 160 SBT toán 9 tập 1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \(OAM\) ta có:

\(O{A^2} = A{M^2} + O{M^2}\)

Suy ra:   \(A{M^2} = O{A^2} - O{M^2} = {5^2} - {3^2} = 16\)

               \(AM = 4 (dm)\)

Xét (O) có \( OM ⊥ AB\) mà OM là 1 phần đường kính và AB là dây cung

Suy ra M là trung điểm dây AM (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy), do đó  \( AM = \displaystyle {1 \over 2}AB\) 

Hay:       \( AB = 2AM = 2.4 = 8 (dm)\)

\(b)\) Dây đi qua \(M\) lớn nhất khi nó là đường kính của đường tròn \((O).\) Vậy dây có độ dài bằng \(2R = 2.5 = 10 (dm)\)