Giải bài 32 trang 74 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Cho ba điểm A(-2 ; 2), B(7 ; 5), C(4 ; – 5) và đường thẳng ∆: 2x  + y – 4 = 0

a) Tìm toạ độ điểm M thuộc ∆ và cách đều hai điểm AB

b*) Tìm toạ độ điểm N thuộc ∆ sao cho |\(\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} \)| có giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tham số hóa điểm MN theo PT tổng quát ∆

Bước 2: Sử dụng công thức khoảng cách để lập PT AM = BM

Bước 3: Giải PT để tìm tọa độ điểm M

Bước 4: Tìm tọa độ điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

Bước 5: Biến đổi và tìm GTNN của biểu thức |\(\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} \)| để tìm điểm N thỏa mãn giả thiết

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(M(t;4 - 2t) \in \Delta \)

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = (t + 2; - 2t + 2)\), \(\overrightarrow {BM}  = (t - 7; - 2t - 1)\)

Theo giả thiết, M cách đều hai điểm AB \( \Rightarrow AM = BM \Leftrightarrow A{M^2} = B{M^2}\)

                                                            \( \Leftrightarrow {(t + 2)^2} + {( - 2t + 2)^2} = {(t - 7)^2} + {( - 2t - 1)^2}\)

                                                            \( \Leftrightarrow  - 4t + 8 =  - 10t + 50 \Leftrightarrow 6t = 42 \Leftrightarrow t = 7\)

Vậy M(7 ; -10)

b*) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (9;3),\overrightarrow {AC}  = (6; - 7)\)

Vì \(\frac{9}{6} \ne \frac{3}{{ - 7}}\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương \( \Rightarrow A,B,C\) không thẳng hàng

Gọi G là trọng tâm ∆ABC \( \Rightarrow G\left( {3;\frac{2}{3}} \right)\) và \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Xét \(\left| {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} } \right| = \left| {\overrightarrow {NG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {NG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {NG}  + \overrightarrow {GC} } \right|\)\( = \left| {3\overrightarrow {NG} } \right| = 3NG\)

\(\left| {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} } \right|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi NG nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) N là hình chiếu của G trên ∆

Gọi d là đường thẳng đi qua G, vuông góc với ∆

∆ có VTPT \(\overrightarrow n  = (2;1)\) \( \Rightarrow \) ∆ có một VTCP là \(\overrightarrow u  = (1; - 2)\)

Do \(d \bot \Delta \) nên d nhận \(\overrightarrow u  = (1; - 2)\)làm VTPT \( \Rightarrow \) d có PT: 3x – 6y – 5 = 0

N là giao điểm của d và ∆ \( \Rightarrow \) tọa độ điểm N là nghiệm của hệ PT: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\3x - 6y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{29}}{{15}}\\y = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)

Vậy \(N\left( {\frac{{29}}{{15}};\frac{2}{{15}}} \right)\)

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved
gift-box
survey
survey
Đặt câu hỏi