Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}\)
LG câu a
a) Chứng minh rằng \({I_n} = \dfrac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}},n > 2\)
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(u = {\sin ^{n - 1}}x\) và \(dv = \sin xdx\)
Giải chi tiết:
Xét với \(n > 2\), ta có: \({I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^{n - 1}}x.\sin xdx} \)
Dùng tích phân từng phần với \(u = {\sin ^{n - 1}}x\) và \(dv = \sin xdx\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}du = \left( {n - 1} \right){\sin ^{n - 2}}x\cos xdx\\v = - \cos x\end{array} \right.\)
\({I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^{n - 1}}x\sin xdx} \)\( = \left. { - \cos x{{\sin }^{n - 1}}x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}}\) \( + (n - 1)\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^{n - 2}}x{{\cos }^2}xdx} \)
\( = \left( {n - 1} \right)\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^{n - 2}}x - {{\sin }^n}x} \right)dx} \)\( = \left( {n - 1} \right){I_{n - 2}} - \left( {n - 1} \right){I_n}\)
Vậy \({I_n} = \dfrac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}}\)
LG câu b
b) Tính \({I_3}\) và \({I_5}\).
Phương pháp giải:
Thay \(n = 3,n = 5\) vào tính \({I_3},{I_5}\).
Giải chi tiết:
Ta có: \({I_1} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} \)\( = \left. { - \cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = 1\).
Suy ra \({I_3} = \dfrac{{3 - 1}}{3}{I_1} = \dfrac{2}{3}.1 = \dfrac{2}{3}\); \({I_5} = \dfrac{{5 - 1}}{5}{I_3} = \dfrac{4}{5}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{{15}}\).
Vậy \({I_3} = \dfrac{2}{3},{I_5} = \dfrac{8}{{15}}\).
Đề kiểm tra 45 phút - Chương 2 – Hóa học 12
Bài 1. Việt Nam trên đường đổi mới và hội nhập
Đề kiểm tra 45 phút - Chương 5 – Hóa học 12
Bài 8: Thiên nhiên chịu ảnh hưởng sâu sắc của biển
Đề thi học kì 2
Quên mật khẩu ?
Hoặc đăng nhập với
Điểm cần để chuộc tội: 0
Bé Cà đang rất bực vì quỹ điểm của bạn đã đạt ngưỡng báo động. Bé Cà đã tắt quyền đặt câu hỏi của bạn. Mau kiếm bù điểm chuộc lỗi với bé Cà
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
Để nhận quà tặng voucher bạn cần hoàn thành một nhiệm vụ sau