Bài 3.32 trang 178 SBT giải tích 12

a) Có đáy là một tam giác cho bởi: \(\displaystyle  y = x,y = 0\), và \(\displaystyle  x = 1\). Mỗi thiết diện vuông góc với trục \(\displaystyle  Ox\) là một hình vuông.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích \(\displaystyle  V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

Dựng hình:

Với \(\displaystyle  \forall x \in \left[ {0;1} \right]\), thiết diện là hình vuông cạnh \(\displaystyle  x\), diện tích thiết diện \(\displaystyle  S\left( x \right) = {x^2}\).

Vậy \(\displaystyle  V = \int\limits_0^1 {S(x)dx = \int\limits_0^1 {{x^2}dx  = \left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1= \dfrac{1}{3}} } \)

b) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi \(\displaystyle  {x^2} + {y^2} = 1\). Mỗi thiết diện vuông góc với trục \(\displaystyle  Ox\) là một hình vuông.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích \(\displaystyle  V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

Dựng hình:

Thiết diện vuông góc trục \(\displaystyle  Ox\) tại \(\displaystyle  x \in {\rm{[}} - 1;1]\) là hình vuông cạnh \(\displaystyle  AB\) , trong đó \(\displaystyle  A\left( {x;y} \right)\) với \(\displaystyle  y = \sqrt {1 - {x^2}} \).

Khi đó, \(\displaystyle  AB = 2\sqrt {1 - {x^2}} \). Diện tích thiết diện là: \(\displaystyle  S(x) = 4(1 - {x^2})\) .

Vậy \(V = \int\limits_{ - 1}^1 {4\left( {1 - {x^2}} \right)dx}  \) \(= 4\left. {\left( {x - \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 \) \(= 4\left( {\dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{{16}}{3}\)