Bài 3.35 trang 178 SBT giải tích 12

Tính diện tích \(\displaystyle  {S_n}\) của hình bậc thang (tổng diện tích của \(\displaystyle  n\) hình chữ nhật con).

Phương pháp giải:

Tính diện tích từng hình chữ nhật rồi tính tổng.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  {S_1} = \frac{1}{n}.{e^{ - \frac{1}{n}}}\); \(\displaystyle  {S_2} = \frac{1}{n}.{e^{ - \frac{2}{n}}}\); …;\(\displaystyle  {S_n} = \frac{1}{n}.{e^{ - \frac{n}{n}}}\)

\(\displaystyle   \Rightarrow {S_n} = \frac{1}{n}\left( {{e^{ - \frac{1}{n}}} + {e^{ - \frac{2}{n}}} + ... + {e^{ - \frac{n}{n}}}} \right)\)\(\displaystyle   = \frac{1}{n}.{e^{ - \frac{1}{n}}}\frac{{1 - {{\left( {{e^{ - \frac{1}{n}}}} \right)}^n}}}{{1 - {e^{ - \frac{1}{n}}}}} = \frac{1}{n}.\frac{{1 - {e^{ - 1}}}}{{{e^{\frac{1}{n}}} - 1}}\)

Tìm \(\displaystyle  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}\) và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.

Phương pháp giải:

Tính giới hạn \(\displaystyle  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}\) và tính diện tích bằng công thức tích phân \(\displaystyle  S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) rồi so sánh.

Giải chi tiết:

\(\displaystyle  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = 1 - {e^{ - 1}}\)

Mặt khác \(\displaystyle  S = \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx}  =  - \left. {{e^{ - x}}} \right|_0^1 = 1 - {e^{ - 1}}\).

Do đó \(\displaystyle  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = 1 - {e^{ - 1}} = \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx}  = S\)