Chứng minh các bất đẳng thức sau
LG a
\({3^{n - 1}} > n\left( {n + 2} \right)\) với \(n \ge 4\)
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \ge p,p \in {N^*}\), ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = p\).
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge p} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\)
Lời giải chi tiết:
Với \(n = 4\) thì \({3^{4 - 1}} = 27 > 4\left( {4 + 2} \right) = 24.\)
Giả sử đã có \({3^{k - 1}} > k\left( {k + 2} \right)\) với \(k \ge 4.{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Nhân hai vế của (1) với \(3\), ta có
\({3.3^{k - 1}} = {3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > 3k\left( {k + 2} \right)\) \({\rm{ = }}\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right]\) \( + 2{k^2} + 2k - 3.\)
Do \(2{k^2} + 2k - 3 > 0\) nên \({3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > \left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right],\) chứng tỏ bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1.\)
LG b
\({2^{n - 3}} > 3n - 1\) với \(n \ge 8.\)
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \ge p,p \in {N^*}\), ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = p\).
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge p} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).
Lời giải chi tiết:
Với \(n = 8\) ta có: \({2^{8 - 3}} = {2^5} = 32 > 23 = 3.8 - 1\) nên đúng.
Giả sử ta có \({2^{k - 3}} > 3k - 1\,\,\left( 1 \right)\) với \(k \ge 8\), ta cần chứng minh \({2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} > 3.\left( {k + 1} \right) - 1\)
Thật vậy, nhân cả hai vế của \(\left( 1 \right)\) với \(2\) ta có:
\({2^{k - 2}} > 3k.2 - 2\)\( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3k + 3 + 3k - 5\) \( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) + 3k - 5\)
\( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1 + 3k - 4\) \( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1\)
Hay \({2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1\) nên bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Từ đó suy ra đpcm.
Chủ đề 3: Phối hợp kĩ thuật đánh cầu thấp tay
Unit 2: Vietnam and ASEAN
Chương 8. Dẫn xuất halogen - ancol - phenol
Chuyên đề 2. Một số vấn đề về pháp luật lao động
Chuyên đề 2. Lí thuyết đồ thị
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11