Bài 3.40 trang 131 SBT hình học 12

Đề bài

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}\)

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng \(\Delta \);

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng \(\Delta \).

Lời giải chi tiết

a) Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 1 - t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\)

Xét điểm  \(H(1 + 2t; - 1 - t;2t) \in \Delta \)

Ta có \(\overrightarrow {MH}  = (2t - 1; - t;2t - 1)\), \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = (2; - 1;2)\)

H là hình chiếu vuông góc của M trên \(\Delta  \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0\)

\( \Leftrightarrow 2(2t - 1) + t + 2(2t - 1) = 0\)\( \Leftrightarrow t = \dfrac{4}{9}\)

Ta suy ra tọa độ điểm  \(H\left( {\dfrac{{17}}{9};\dfrac{{ - 13}}{9};\dfrac{8}{9}} \right)\)

Cách khác:

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \).

Khi đó \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2; - 1;2} \right)\) là VTPT của \(\left( \alpha  \right)\)

Mà \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(M\left( {2; - 1;1} \right)\) nên:

\(\left( \alpha  \right):2\left( {x - 2} \right) - \left( {y + 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(2x - y + 2z - 7 = 0\)

\(H = \Delta  \cap \left( \alpha  \right)\) nên tọa độ điểm \(H\) thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 1 - t\\z = 2t\\2x - y + 2z - 7 = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2\left( {1 + 2t} \right) - \left( { - 1 - t} \right) + 2.2t - 7 = 0\)

\( \Leftrightarrow 9t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{4}{9}\)

\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{{17}}{9}; - \dfrac{{13}}{9};\dfrac{8}{9}} \right)\)

b) H là trung điểm của MM’, suy ra \({x_{M'}} + {x_M} = 2{x_H}\)

Suy ra \({x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = \dfrac{{34}}{9} - 2 = \dfrac{{16}}{9}\)

Tương tự, ta được \({y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = \dfrac{{ - 26}}{9} + 1 = \dfrac{{ - 17}}{9};\)\({z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = \dfrac{{16}}{9} - 1 = \dfrac{7}{9}\)

Vậy \(M'\left( {\dfrac{{16}}{9};\dfrac{{ - 17}}{9};\dfrac{7}{9}} \right)\).