HÌNH HỌC SBT - TOÁN 11

Bài 3.52 trang 163 SBT hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và các cạnh OA = OB = OC = a, gọi I là trung điểm BC.

a) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI), (OAI) ⊥ (ABC).

b) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).

c) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB.

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\)

Mà \(\Delta OBC\) vuông cân tại O nên \(OI \bot BC\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OA\\BC \bot OI\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAI} \right)\).

Mà \(BC \subset \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {ABC} \right) \bot \left( {OAI} \right)\).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BI \bot OI\\BI \bot OA\end{array} \right. \Rightarrow BI \bot \left( {OAI} \right)\)

\( \Rightarrow I\) là hình chiếu của B trên \(\left( {OAI} \right)\).

Mà \(BA \cap \left( {OAI} \right) = A\) nên \(AI\) là hình chiếu của \(AB\) trên \(\left( {OAI} \right)\).

Do đó góc giữa AB và (OAI) bằng góc giữa AB và AI hay là góc \(\widehat {BAI}\).

Tam giác ABC có: \(AB = BC = AC\) do các tam giác vuông cân OAB,OAC,OBC bằng nhau.

Do đó ABC là tam giác đều nên \(\widehat A = {60^0}\)

I là trung điểm BC nên AI là phân giác góc A nên \(\widehat {BAI} = \dfrac{1}{2}\widehat A = {30^0}\).

c) Gọi J là trung điểm OC, khi đó IJ//OB

Do \(OB \bot \left( {OAC} \right)\) nên \(IJ \bot \left( {OAC} \right) \Rightarrow IJ \bot AJ\) hay tam giác \(AIJ\) vuông tại J.

Vậy góc giữa AI và OB bằng góc giữa AI và IJ hay góc \(\widehat {AIJ}\).

Có \(IJ = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{a}{2}\).

\(AJ = \sqrt {O{A^2} + O{J^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Tam giác AIJ vuông tại J nên \(\tan \widehat {AIJ} = \dfrac{{AJ}}{{IJ}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}:\dfrac{a}{2} = \sqrt 5 \) \( \Rightarrow \widehat {AIJ} = {65^0}54'\)

 

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved
gift-box
survey
survey

Chatbot GPT

timi-livechat
Đặt câu hỏi