PHẦN HÌNH HỌC - VỞ BÀI TẬP TOÁN 9 TẬP 1

Bài 37 trang 140 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, \(B \in \left( O \right),C \in \left( {O'} \right)\). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật

b) ME.MO = MF.MO’

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC 

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, chứng minh tứ giác có ba góc vuông.

b) Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông \({b^2} = b'a\)

c) Chứng minh \(OO'\) vuông góc với bán kính của đường tròn đường kính \(BC\) tại tiếp điểm.

d) Dùng tính chất của đường trung bình trong tam giác.

Chứng minh \(BC'\) vuông góc với bán kính của đường tròn đường kính \(OO'\) tại tiếp điểm.

Lời giải chi tiết

a)

 

(h. 98a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn \(\left( O \right),\) ta có \(MA = MB,\) \(MO\) là tia phân giác của \(\widehat {BMA}.\)

Tam giác \(AMB\) cân tại \(M,\) có \(MO\) là tia phân giác nên \(MO \bot AB.\)

Chứng minh tương tự với đường tròn \(\left( {O'} \right),\) ta có \(MA = MC,MO'\) là tia phân giác của \(\widehat {AMC}\) nên \(MO' \bot AC.\)

Do \(MO\) và \(MO'\) là hai tia phân giác của hai góc kề bù nên \(\widehat {OMO'} = {90^o}.\)

Tứ giác \(AEMF\) có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

b) Tam giác \(MAO\) vuông tại \(A,\)đường cao \(AE\) nên \(ME.MO = M{A^2}{\rm{                (1)}}\)

Tam giác   \(MAO'\) vuông tại \(A,\)đường cao \(AF\) nên \(MF.MO' = M{A^2}{\rm{                (2)}}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(ME.MO = MF.MO'.\)

c) Đường tròn đường kính \(BC\) có tâm \(M,\) bán kính \(MA.\) Ta có \(OO' \bot MA\) (vì \(MA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) và \(\left( {O'} \right)\)).

Đường thẳng \(OO'\) vuông góc với bán kính \(MA\) của đường tròn \(\left( M \right)\) tại \(A\) nên \(OO'\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( M \right),\) tức là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là \(BC.\)

d)

 

(h. 98b) Gọi I là trung điểm của \(OO'.\)

Đường tròn đường kính \(OO'\) có tâm là \(I,\) bán kính là \(IM\) (vì \(MI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông \(OMO'\) nên \(MI = IO = IO'\))

Hình thang \(OBCO'\left( {OB//O'C} \right)\) có \(BM = MC;OI = O'I\) nên \(IM\) là đường trung bình, suy ra \(IM//OB//O'C.\)

Ta lại có \(OB \bot BC\) nên \(IM \bot BC.\)

Đường thẳng \(BC\) vuông góc với bán kính \(IM\) của đường tròn \(\left( I \right)\) tại \(M\) nên \(BC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( I \right),\) tức là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính \(OO'.\)

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Báo cáo nội dung câu hỏi
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved