Bài 3.7 trang 38 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = {45^ \circ },\,\,\widehat C = {30^ \circ },\,\,c = 12.\)

a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác.

b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

c) Tính diện tích của tam giác.

d) Tính độ dài các đường cao của tam giác.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat B = {180^ \circ } - \widehat A - \widehat C = {180^ \circ } - {45^ \circ } - {30^ \circ } = {105^ \circ }.\)

Áp dụng định lý sin ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}}\\{\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin {{45}^ \circ }}} = \frac{{12}}{{\sin {{30}^ \circ }}}}\\{\frac{b}{{\sin {{105}^ \circ }}} = \frac{{12}}{{\sin {{30}^ \circ }}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,} \right.} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{12\sin {{45}^ \circ }}}{{\sin {{30}^ \circ }}} = 12\sqrt 2 }\\{b = \frac{{12\sin {{105}^ \circ }}}{{\sin {{30}^ \circ }}} = 6\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}\end{array}} \right.\)

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác là:

Áp dụng định lý sin ta được:

\(\frac{c}{{\sin C}} = 2R\,\, \Rightarrow \,\,R = \frac{c}{{2\sin C}} = \frac{{12}}{{2\sin {{30}^ \circ }}} = \frac{{12}}{{2.\frac{1}{2}}} = 12.\)

c) Diện tích \(\Delta ABC\) là:

\(S = \frac{1}{2}ab.\sin C = \frac{1}{2}.12\sqrt 2 .6\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right).\sin {30^ \circ } = 36\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\) (đvdt).

d) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = \frac{1}{2}a.{h_a}}\\{S = \frac{1}{2}b.{h_b}}\\{S = \frac{1}{2}c.{h_c}}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{h_a} = \frac{{2S}}{a}}\\{{h_b} = \frac{{2S}}{b}}\\{{h_c} = \frac{{2S}}{c}}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{h_a} = \frac{{2.36\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{12\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}\\{{h_b} = \frac{{2.36\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{6\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}} = 6\sqrt 2 }\\{{h_c} = \frac{{2.36\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{12}} = 6\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}\end{array}} \right.\)