Bài 39 trang 142 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB  tại I (điểm D thuộc dây cung nhỏ AB). Gọi E là điểm đối xứng với D qua điểm I.

a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Vì sao ?

b) Vẽ đường tròn (O’) đường kính EC. Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).

c) Gọi K là giao điểm của BC với đường tròn (O’), K khác C. Chứng minh rawmgf ba điểm A, E, K thẳng hàng.

d) Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Dùng định lí đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó, chứng minh tứ giác là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

b) So sánh \(OO'\) và  tổng hoặc hiệu hai bán kính để tìm vị trí tương đối của hai hình tròn.

c) Vận dụng kiến thức : Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông , chứng minh \(EA//DB.\)

  Áp dụng tiên đề Ơ-clit : Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó để chứng minh ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng.

d) Dùng định lí : Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì đường thẳng đó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Lời giải chi tiết

a) Đường kính \(CD\) vuông góc với dây \(AB\) nên \(AI = IB.\)

Điểm \(E\) đối xứng với điểm \(D\) qua điểm \(I\) nên \(DI = IE.\)

Tứ giác \(ADBE\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Hình bình hành \(ADBE\) có \(AB \bot ED\) nên là hình thoi.

b) Đường tròn \(\left( O \right)\) có bán kính là \(OC,\) đường tròn \(\left( {O'} \right)\) có bán kính là \(O'C.\) Ta có \(OO' = OC - O'C\) nên hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) có vị trí tiếp xúc trong.

c) Tam giác \(EKC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(EC\) nên \(\widehat {EKC} = {90^o}\left( 1 \right)\)

    Tam giác \(DBC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CD\) nên \(\widehat {DBC} = {90^o}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(EK//DB.\)

Tứ giác \(ADBE\) là hình thoi (câu a) nên \(EA//DB.\)

Qua \(E,\) ta có \(EK\) và \(EA\) cùng song song với \(DB\) nên \(A,E,K\) thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit).

d) Tam giác \(EKC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(EC\) nên \(\widehat {EKC} = {90^o},\)suy ra \(\widehat {AKB} = {90^o}.\) Tam giác  \(AKB\) vuông tại \(K\) có \(KI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(KI = \dfrac{1}{2}AB,\) suy ra \(\widehat {AKI} = \widehat {KAI}{\rm{                 }}\left( 3 \right)\).

Tam giác \(O'EK\) cân tại \(O'\) (vì \(O'K = O'E\)) nên \(\widehat {O'KE} = \widehat {O'EK}.\)

Ta lại có \(\widehat {O'EK} = \widehat {AEI}\) (đối đỉnh) nên \(\widehat {O'KE} = \widehat {AEI}{\rm{          }}\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {AKI} + \widehat {O'KE} = \widehat {KAI} + \widehat {AEI} = {90^o},\) tức là \(\widehat {IKO'} = {90^o}.\)

Đường thẳng \(IK\) vuông góc với \(O'K\) tại điểm \(K\) nên \(IK\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right).\)