Câu hỏi 4 - Mục Bài tập trang 90

1. Nội dung câu hỏi

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 2}  - 2}}{{x - 2}}\;khi\;x \ne 2\\\;\;\;\;a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x = 2\end{array} \right.\). Tìm giá trị của tham số a để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 2\).

3. Lời giải chi tiết 

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2}  - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {\sqrt {x + 2}  - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x + 2}  + 2}} = \frac{1}{{\sqrt {2 + 2}  + 2}} = \frac{1}{4}\)

Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 2\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Rightarrow a = \frac{1}{4}\)