Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD và CE. Chứng minh \(MI = IK = KN\).

2. Phương pháp giải

+ Sử dụng kiến thức về đường trung bình của tam giác để chứng minh: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+ Sử dụng kiến thức về định lí Thalès đảo để chứng minh: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

3. Lời giải chi tiết

Vì CE là trung tuyến của tam giác ABC nên \(AE = EB\)

Vì M là trung điểm của BE nên \(EM = \frac{1}{2}EB\)

Do đó, \(\frac{{EM}}{{AE}} = \frac{1}{2}\) (1)

Vì BD là trung tuyến của tam giác ABC nên \(AD = DC\)

Vì N là trung điểm của DC nên \(DN = \frac{1}{2}CD\)

Do đó, \(\frac{{DN}}{{AD}} = \frac{1}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{EM}}{{AE}} = \frac{{DN}}{{AD}}\)

Tam giác AMN có: \(\frac{{EM}}{{AE}} = \frac{{DN}}{{AD}}\) nên ED//MN

Tam giác EBD có: MI//ED (cmt), M là trung điểm của BE nên I là trung điểm BD. Do đó, \(\frac{{MI}}{{ED}} = \frac{1}{2}\) (1)

Tam giác ECD có: NK//ED (cmt), N là trung điểm của DC nên K là trung điểm EC. Do đó, \(\frac{{KN}}{{ED}} = \frac{1}{2}\) (2)

Tam giác ABC có E, D lần lượt là trung điểm của AB, AC nên ED là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, \(\frac{{ED}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) (3) và ED//BC

Từ (1), (2), (3) có: \(\frac{{MI}}{{BC}} = \frac{{KN}}{{BC}} = \frac{1}{4}\) (4)

Tam giác EBC có: KM//BC (cùng song song với ED), M là trung điểm của BE nên K là trung điểm của EC.

Do đó, MK là đường trung bình của tam giác EBC.

Suy ra: \(\frac{{MK}}{{BC}} = \frac{1}{2}\), hay \(\frac{{MI + IK}}{{BC}} = \frac{1}{2}\), mà \(\frac{{MI}}{{BC}} = \frac{1}{4}\) nên \(\frac{{IK}}{{BC}} = \frac{1}{4}\) (5)

Từ (4) và (5) ta có: \(MI = IK = KN\)

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024