Bài 42 trang 94 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác vuông \(ABC\) (\(\widehat A = 90^\circ \)). Dựng \(AD\) vuông góc với \(BC\) (\(D\) thuộc \(BC\)). Đường phân giác \(BE\) cắt \(AD\) tại \(F\) (h.29).

Chứng minh: \(\displaystyle {{FD} \over {FA}} = {{EA} \over {EC}}\). 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng: 

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

- Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

Lời giải chi tiết

\(\Delta ABC\) có \(BE\) là tia phân giác của góc \(ABC\) nên ta có:

\(\displaystyle {{EA} \over {EC}} = {{AB} \over {BC}}\)  (tính chất đường phân giác của tam giác)       (1)

\(\Delta ADB\) có \(BF\) là tia phân giác của góc \(ABD\) nên ta có:

\(\displaystyle {{FD} \over {FA}} = {{BD} \over {BA}}\)  (tính chất đường phân giác của tam giác)        (2)

Xét \(∆ ABC\) và \(∆ DBA\) có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {BDA} = 90^\circ \)

\(\widehat B\) chung

\( \Rightarrow ∆ ABC \backsim  ∆ DBA\) (g.g)

\( \Rightarrow\displaystyle {{BD} \over {BA}} = {{AB} \over {CB}}\)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\displaystyle {{FD} \over {FA}} = {{EA} \over {EC}}\).