Bài 43 trang 163 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho điểm \(A\) nằm trên đường thẳng \(d,\) điểm \(B\) nằm ngoài đường thẳng \(d.\) Dựng đường tròn \((O)\) đi qua  \(A\) và \(B,\) nhận đường thẳng \(d\) làm tiếp tuyến.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Phân tích: 

+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)

+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải chi tiết

* Phân tích

−  Giả sử dựng được đường tròn \((O)\) qua \(A,\) \(B\) và tiếp xúc với \(d.\) Khi đó đường tròn \((O)\) phải tiếp xúc với \(d\) tại \(A.\)

−  Đường tròn \((O)\) đi qua \(A\) và \(B\) nên tâm \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB.\)

−  Đường tròn \((O)\) tiếp xúc với \(d\) tại \(A\) nên điểm \(O\) nằm trên đường thẳng vuông góc với \(d\) tại điểm \(A.\)

* Cách dựng

−  Dựng đường thẳng trung trực của \(AB.\)

−   Dựng đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d.\) Đường thẳng này cắt đường trung trực của \(AB\) tại \(O.\)

−  Dựa đường tròn \(( O; OA)\) ta được đường tròn cần dựng.

* Chứng minh

Vì \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) nên \(OA = OB.\) Khi đó đường tròn \((O; OA)\) đi qua hai điểm \(A\) và \(B.\)

Ta có: \(OA\) vuông góc với \(d\) tại \(A\) nên \(d\) là tiếp tuyến của \((O).\)

Vậy \((O)\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

* Biện luận: Ta luôn dựng được một đường tròn thỏa mãn điều kiện của đề bài.