1. Nội dung câu hỏi
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = - 1\), \(q = 3\).
a) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đó.
b) Giả sử tổng \(m\) số hạng đầu của \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \( - 364\). Tìm \(m\)
c) Tính tổng \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} + \frac{1}{{{u_5}}}\).
2. Phương pháp giải
a, b) Sử dụng công thức \({S_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)
c) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \frac{1}{{{u_n}}}\). Ta thấy dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(\frac{1}{3}\).
Sử dụng công thức \(S'_n = {v_1}\frac{{1 - q{'^n}}}{{1 - q'}}\)
3. Lời giải chi tiết
a) Do \(q = 3\) nên tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) là:
\({S_{10}} = {u_1}\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = \left( { - 1} \right)\frac{{1 - {3^{10}}}}{{1 - 3}} = - \frac{{{3^{10}} - 1}}{2}\)
b) Do tổng của \(m\) số hạng đầu là \( - 364\), nên ta có \({S_m} = {u_1}\frac{{1 - {q^m}}}{{1 - q}} = - 364\)
\( \Rightarrow \left( { - 1} \right)\frac{{1 - {3^m}}}{{1 - 3}} = - 364 \Rightarrow \frac{{{3^m} - 1}}{2} = 364 \Rightarrow {3^m} - 1 = 728 \Rightarrow {3^m} = 729 \Rightarrow m = 6\).
Vậy \(m = 6\).
c) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \frac{1}{{{u_n}}}\). Ta có \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} :\frac{1}{{{u_n}}} = \frac{1}{{\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}}} = \frac{1}{3}\).
Như vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = \frac{1}{{{u_1}}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1\) và công bội \(q' = \frac{1}{3}\).
Vậy \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} + \frac{1}{{{u_5}}} = {v_1} + {v_2} + {v_3} + {v_4} + {v_5}\)
\( = v{\rm{\_1}}\frac{{1 - {{\left( {q'} \right)}^5}}}{{1 - q'}} = \left( { - 1} \right)\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^5}}}{{1 - \left( {\frac{1}{3}} \right)}} = - \frac{{121}}{{81}}\)
Chủ đề 3. Quá trình giành độc lập dân tộc của các quốc Đông Nam Á
Chủ đề 1. Xây dựng và phát triển nhà trường
Bài giảng ôn luyện kiến thức cuối học kì 1 môn Lịch sử lớp 11
Chủ đề 1: Vai trò, tác dụng của môn bóng rổ; kĩ thuật di chuyển và kĩ thuật dẫn bóng
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 (ĐỀ THI HỌC KÌ 2) - VẬT LÍ 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán Lớp 11
Chatbot GPT