Bài 4.4 phần bài tập bổ sung trang 67 SBT toán 9 tập 1

LG a

Tìm giá trị của \(k\) để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(2\sqrt 3 \).

Phương pháp giải:

Gọi d là đồ thị của hàm số  \(y = ax + b\) \((a \ne 0)\), d cắt trục hoành tại \(B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\) và cắt trục tung tại \(A\left( {0;b} \right)\).

Điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc d khi và chỉ khi \(y_0 = ax_0 + b\).

Lời giải chi tiết:

Để biểu thức ở vế phải xác định thì \(k \ge 0\). 

Để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(2\sqrt 3 \) thì:

\(\begin{array}{l}
\sqrt k + \sqrt 3 = 2\sqrt 3 \\
\Leftrightarrow \sqrt k = \sqrt 3 \Leftrightarrow k = 3
\end{array}\)

LG b

Tìm giá trị của \(k\) để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(1.\)

Phương pháp giải:

Gọi d là đồ thị của hàm số  \(y = ax + b\) \((a \ne 0)\), d cắt trục hoành tại \(B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\) và cắt trục tung tại \(A\left( {0;b} \right)\).

Điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc d khi và chỉ khi \(y_0 = ax_0 + b\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(1\) thì tung độ giao điểm bằng \(0\). Ta có:

\(\dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}.1 + \sqrt k + \sqrt 3 = 0\)
\(\Leftrightarrow \sqrt k + 1 \)\(+ (\sqrt 3 - 1)\left( {\sqrt k + \sqrt 3 } \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \sqrt k + 1 \)\(+ \sqrt 3 \sqrt k + \sqrt 3 .\sqrt 3 - \sqrt k - \sqrt 3 = 0\)
\(\Leftrightarrow \sqrt 3 .\sqrt k + 4 - \sqrt 3 = 0\)
\(\Rightarrow \sqrt k = \dfrac{{\sqrt 3 - 4}}{{\sqrt 3 }}\) mà \(\dfrac{{\sqrt 3 - 4}}{{\sqrt 3 }}<0\) nên không có giá trị \(k\) thỏa mãn. 

Vậy đường thẳng (d) không cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 với mọi giá trị của \(k \ge 0\).

LG c

Chứng minh rằng, với mọi giá trị \(k \ge 0\), các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định tọa độ của điểm cố định đó. 

Phương pháp giải:

Điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc đồ thị \(y = ax + b\) khi và chỉ khi \(y_0 = ax_0 + b\).

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm cố định mà các đường thẳng (d) đều đi qua là \(P({x_0};{y_0})\).

Ta có:

\({y_0} = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}{x_0} + \sqrt k + \sqrt 3 \)
\(\Leftrightarrow {y_0}(\sqrt 3 - 1) \)\(= \left( {\sqrt k + 1} \right){x_0} + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt k + \sqrt 3 } \right)\)
\(\Leftrightarrow {y_0}(\sqrt 3 - 1) \)\(= \left( {{x_0} + \sqrt 3 - 1} \right)\sqrt k + {x_0} + 3 - \sqrt 3 \)
\(\Leftrightarrow \left( {{x_0} + \sqrt 3 - 1} \right)\sqrt k \)\(+ {x_0} + 3 - \sqrt 3 + {y_0}(1 - \sqrt 3 ) = 0 (*)
\)

Phương trình (*) nghiệm đúng với mọi giá trị không âm của \(\sqrt k \), do đó ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} + \sqrt 3 - 1 = 0\\
{x_0} + 3 + \sqrt 3 + \left( {1 - \sqrt 3 } \right){y_0} = 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\
{y_0} = \sqrt 3 - 1.
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy, với \(k \ge 0\), các đường thẳng (d) đều đi qua điểm cố định \(P(1 - \sqrt 3 ;\sqrt 3  - 1).\)