Bài 44 trang 124 Vở bài tập toán 8 tập 1

Đề bài

Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi \(E, F, G, H\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DA\). Tứ giác \(EFGH\) là hình gì ? Vì sao ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng:

+) Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+) Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

\(∆ABC\) có \(EA=EB\) và \(FB=FC\) nên \(EF // AC\)               (1) 

Chứng minh tương tự \(HG // AC\)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(EF // HG\).

Chứng minh tương tự \(EH// GF\) 

Tứ giác \(EFGH\) có \(EF // HG\) và \(EH// GF\) nên là hình bình hành.

Ta lại có \(BD \bot EF\) vì \(BD\bot AC\) và \(EF//AC\),

\(EF\bot EH\) vì \(EF\bot BD\) (chứng minh trên) và \(EH// BD\).

Hình bình hành \(EFGH\) có \(\widehat E = {90^o}\) nên là hình chữ nhật.

Giải thích thêm: \(EH// GF\) 

 Vì \(E,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AD\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \) \(EH\) là đường trung bình của \(∆ABD\) 

\( \Rightarrow \) \(EH // BD\) 

Do \(G,F\) lần lượt là trung điểm của \(CD,BC\) 

\( \Rightarrow \)  \( GF\) là đường trung bình của \(∆BDC\) 

\( \Rightarrow \)  \(GF // BD\)

\( \Rightarrow \)  \(GF // EH\) (vì cùng song song với \(BD\).